\(n\) chẵn thì \(A\) chẵn đúng không?

\(n\) lẻ thì \(n^2\) và \(5n\) là các số lẻ nên \(A\) cũng chẵn.

Vậy \(A\) là hợp số.

Nếu \(n\) lẻ thì \(A\) chẵn mà \(n\) chẵn thì \(A\) cũng chẵn. Hết!

bạn trình bày kĩ hơn được k =))

1. Đặt \(ƯCLN\left(5n+3,6n+1\right)=d\) với \(d\ne1\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}5n+3⋮d\\6n+1⋮d\end{matrix}\right.\) 

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}30n+18⋮d\\30n+5⋮d\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow13⋮d\)

\(\Rightarrow d\in\left\{1,13\right\}\)

Nhưng vì \(d\ne1\) nên \(d=13\). Vậy \(ƯCLN\left(5n+3,6n+1\right)=13\)

2. Gọi \(ƯCLN\left(4n+3,5n+4\right)=d\) 

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}4n+3⋮d\\5n+4⋮d\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}20n+15⋮d\\20n+16⋮d\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow1⋮d\) 

\(\Rightarrow d=1\)

 Vậy \(ƯCLN\left(4n+3,5n+4\right)=1\) nên 2 số này nguyên tố cùng nhau. (đpcm)

 3: Tương tự 2 nhưng khi đó \(d\in\left\{1,2\right\}\). Nhưng vì cả 2 số \(2n+1,6n+5\) đều là số lẻ nên chúng không thể có ƯC là 2. Vậy \(d=1\)

 4. Tương tự 3.

Bạn nên tách riêng rẽ từng bài ra để đăng cho mọi người quan sát dễ hơn nhé.

Gọi d là ƯCLN(5n+2;3n+1)

Ta có 5n+2\(⋮\)d;3n+1\(⋮\)d

=>3*(5n+2)\(⋮\)d;5*(3n+1)\(⋮\)d

=>15n+6\(⋮\)d;15n+5\(⋮\)d

=>[(15n+6)-(15n+5)]\(⋮\)d

=>[15n+6-15n-5]\(⋮\)d

=>1\(⋮\)d

=>d=1

Vì ƯCLN(5n+2;3n+1)=1 nên phân số \(\frac{5n+2}{3n+1}\) luôn là phân số tối giản(nEN*)

a) Xét hiệu : \(n^5-n\)

Đặt : \(A\text{=}n^5-n\)

Ta có : \(A\text{=}n.\left(n^4-1\right)\text{=}n.\left(n^2-1\right)\left(n^2+1\right)\)

\(A\text{=}n.\left(n+1\right).\left(n-1\right).\left(n^2+1\right)\)

Vì : \(n.\left(n+1\right)\) là tích hai số tự nhiên liên tiếp .

\(\Rightarrow A⋮2\)

Ta có : \(A\text{=}n\left(n+1\right)\left(n-1\right)\left(n^2+1\right)\)

\(A\text{=}n\left(n+1\right)\left(n-1\right)\left(n^2-4+5\right)\)

\(A\text{=}n\left(n-1\right)\left(n+1\right)\left(n-2\right)\left(n+2\right)+5n.\left(n+1\right)\left(n-1\right)\)

Ta thấy : \(\left\{{}\begin{matrix}n\left(n-1\right)\left(n+1\right)\left(n-2\right)\left(n+2\right)⋮5\\5n\left(n-1\right)\left(n+1\right)⋮5\end{matrix}\right.\) vì tích ở trên là tích của 5 số liên tiếp nên chia hết cho 5.

Do đó : \(A⋮10\)

\(\Rightarrow A\) có chữ số tận cùng là 0.

Suy ra : đpcm.

b) Vì \(n⋮3̸\) nên n có dạng : \(3k+1hoặc3k+2\left(k\in N\right)\)

Với : n= 3k+1

Thì : \(n^2\text{=}9k^2+6k+1\)

Do đó : \(n^2\) chia 3 dư 1.

Với : n=3k+2

Thì : \(n^2\text{=}9k^2+12k+4\text{=}9k^2+12k+3+1\)

Do đó : \(n^2\) chia 3 dư 1.

Suy ra : đpcm.

Gọi d là ƯCLN(7n+4;5n+3)

Ta có:7n+4\(⋮\)d;5n+3\(⋮\)d

=>5*(7n+4)\(⋮\)d;7*(5n+3)\(⋮\)d

=>35n+20\(⋮\)d;35n+21\(⋮\)d

=>[(35n+21)-(35n+20)]\(⋮\)d

=>[35n+21-35n-20]\(⋮\)d

=>1\(⋮\)d

=>d=1

Vì ƯCLN(7n+4;5n+3)=1 nên phân số \(\frac{7n+4}{5n+3}\) luôn luôn tối giản(nEN)

Gọi d là UCLN (7n+4;5n+3)

=>*\(\left(7n+4\right)⋮d\Rightarrow5.\left(7n+4\right)⋮d\)

     *\(\left(5n+3\right)⋮d\Rightarrow7.\left(5n+3\right)⋮d\)

Suy ra: 5.(7n+4)-7.(5n+3) chia hết cho d

=>35n+20-35n-21 chia hết cho d

=>-1 chia hết cho d

=> d chỉ có thể là 1 

=> P/s \(\frac{7n+4}{5n+3}\) tối giản

gọi a là ƯC LN(7n+4;5n+3)

ta có

7n+4\(⋮\)a\(\Rightarrow\)35n+20\(⋮\)a

5n+3\(⋮\)a\(\Rightarrow\)35n+21\(⋮\)a

\(\Rightarrow\)(35n+21)-(35n+20)\(⋮\)a

=1\(⋮\)a\(\Rightarrow\)a=1

Vậy với mọi số tự nhiên n thì phân số \(\frac{7n+4}{5n+3}\)luôn tối giản

n2+5n+5=(n2+5n)+5

   n2+5n=n.(n+5)

    xét hiệu: (n+5)-n

         mà 5 chia hết cho 5 

=> (n+5)-n chia hết cho 5

hai số (n+5) và n chia hết cho 5 hoặc (n+5) và n chia cho 5 cùng số dư 

th1:hai số (n+5) và n chia hết cho 5 

=> n+5 chia hết cho 5 và n chia hết cho 5

=> n.(n+5) chia hết cho 5 

mà 5 không chia hết cho 25 

=> n2 +5n+5 không chia hết cho 25

th2: n+5 và n  chia cho 5 cùng số dư 

=> n+5 không chia hết cho 5 và n không chia hết cho 5 

=> n.(n+5) không chia hết cho 25

mà 5 chia hết cho 5 

=> n2 + 5n + n  không chia hết cho 25 

vậy với n thuộc N thì n2+5n+5 không chia hết cho 25 

chú ý: không chia hết viết bằng kí hiệu 

Hướng dẫn giải:

Gọi d là ƯCLN của 5n + 7 và 7n + 10

⇒ (5n + 7)⋮ d và (7n + 10)⋮ d

⇒ [7(5n + 7) - 5(7n + 10)] = -1⋮ d

⇒ d = 1 hoặc d = -1

Vậy phân thức đã cho tối giản với ∀n ∈ N