Bài 1:

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có:

\(C=\dfrac{1}{yz}+\dfrac{1}{xz}\ge\dfrac{\left(1+1\right)^2}{xz+yz}=\dfrac{4}{xz+yz}\)

Từ \(x+y+z=3\Rightarrow x+y=3-z\)

\(\Rightarrow C\ge\dfrac{4}{xz+yz}=\dfrac{4}{z\left(x+y\right)}=\dfrac{4}{z\left(3-z\right)}=\dfrac{4}{-z^2+3z}\)

Lại có: \(-z^2+3z=\dfrac{9}{4}-\left(z-\dfrac{3}{2}\right)^2\le\dfrac{9}{4}\)

\(\Rightarrow C\ge\dfrac{4}{-z^2+3z}\ge\dfrac{4}{\dfrac{9}{4}}=\dfrac{16}{9}\)

Đẳng thức xảy ra khi \(x=y=\dfrac{3}{4};z=\dfrac{3}{2}\)

Bài 2:

Từ \(5x^2-5xy+y^2+\dfrac{4}{x^2}=0\)

\(\Leftrightarrow\left(4x^2-4xy+y^2\right)+\left(x^2+\dfrac{4}{x^2}-4\right)+4=xy\)

\(\Leftrightarrow\left(2x-y\right)^2+\left(x-\dfrac{2}{x}\right)^2+4\ge xy\)

Dễ thấy: \(VT\ge4\forall x;y\)\(\Rightarrow VP\ge4\forall x;y\)

Đẳng thức xảy ra khi \(\left(x;y\right)=\left(\sqrt{2};2\sqrt{2}\right);\left(-\sqrt{2};-2\sqrt{2}\right)\)

Bài 3:

Từ \(a^2+b^2=4a+2b+540\)

\(\Leftrightarrow\left(a^2-4a+4\right)+\left(b^2-2b+1\right)=545\)

\(\Leftrightarrow\left(a-2\right)^2+\left(b-1\right)^2=545\)

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có:

\(\left (P-2063 \right )^2=\left [23(a-2)+4(b-1) \right ]^2\)

\(\leq (23^2+4^2)\left [ (a-2)^2+(b-1)^2 \right ]\)

\(\Rightarrow P\le545+2063=2608\)

Đẳng thức xảy ra khi \(a=25;b=5\)

Từ \(\frac{a^2+b^2}{a-2b}=2\Rightarrow a^2+b^2=2\left(a-2b\right)\)  

\(\Leftrightarrow a^2+b^2=2a-4b\) 

\(\Leftrightarrow a^2+b^2+4b=2a\)

\(\Leftrightarrow a.a+b.b+4b=2.a\)

\(\Leftrightarrow a.a+b\left(b+4\right)=2.a\) 

\(\Leftrightarrow2.a-a.a=b\left(b+4\right)\)

\(\Leftrightarrow\frac{a}{b}=\frac{b+4}{2-a}\)

Mà muốn P lớn nhất thì a,b phải lớn nhất \(\Rightarrow a=b+4;b=2-a\)

\(\Leftrightarrow a+b=2\Leftrightarrow b+4+b=2\Leftrightarrow2b=-2\Rightarrow b=-1;a=3\)

\(\Rightarrow P=8a+4b=24-4=20\)

Ta có: \(b=0,25P-2a\) thế ngược lên trên ta được

\(\frac{a^2+\left(0,25P-2a\right)^2}{a-2\left(0,25P-2a\right)}=2\)

\(\Leftrightarrow80a^2-a\left(16P+160\right)+P^2+16P=0\)

Để PT có nghiệm thì:

\(\Delta'\ge0\)

Làm tiếp nhé

bạn cx thi violympic ak

You guess well.

\(\frac{a^2+b^2}{a-2b}=2\Rightarrow a^2+b^2-2a+4b=0\Rightarrow\left(a-1\right)^2+\left(b+2\right)^2=5\)

Đặt \(a-1=x,b+2=y\Rightarrow x^2+y^2=5\), khi đó:

\(P=8a+4b=8\left(x+1\right)+4\left(y-2\right)=8x+4y\)

Áp dụng BĐT Cauchy-schwarz, ta có:

\(P^2=\left(8x+4y\right)^2\le\left(8^2+4^2\right)\left(x^2+y^2\right)=400\)

\(\Rightarrow P\le20\)

Vậy \(MaxP=20\) khi ...