Question

1) cho 3 số nghuyên dương x,y,z thỏa:x+y+z=3

khi \(C=\dfrac{1}{yz}+\dfrac{1}{xz}\) đạt gtrị nhỏ nhất thì (x;y;z)=(...;...;...)

2) biết \(5x^2-5xy+y^2+\dfrac{4}{x^2}=0\) tìm gtrị nhỏ nhất của tích xy

3)cho 2 số a,b thỏa:\(a^2+b^2=4a+2b+540\) tính gtrị lớn nhất của \(P=23a+4b+2013\)

help me !!!! mình cần gấp

Answer 1

Bài 1:

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có:

\(C=\dfrac{1}{yz}+\dfrac{1}{xz}\ge\dfrac{\left(1+1\right)^2}{xz+yz}=\dfrac{4}{xz+yz}\)

Từ \(x+y+z=3\Rightarrow x+y=3-z\)

\(\Rightarrow C\ge\dfrac{4}{xz+yz}=\dfrac{4}{z\left(x+y\right)}=\dfrac{4}{z\left(3-z\right)}=\dfrac{4}{-z^2+3z}\)

Lại có: \(-z^2+3z=\dfrac{9}{4}-\left(z-\dfrac{3}{2}\right)^2\le\dfrac{9}{4}\)

\(\Rightarrow C\ge\dfrac{4}{-z^2+3z}\ge\dfrac{4}{\dfrac{9}{4}}=\dfrac{16}{9}\)

Đẳng thức xảy ra khi \(x=y=\dfrac{3}{4};z=\dfrac{3}{2}\)

Bài 2:

Từ \(5x^2-5xy+y^2+\dfrac{4}{x^2}=0\)

\(\Leftrightarrow\left(4x^2-4xy+y^2\right)+\left(x^2+\dfrac{4}{x^2}-4\right)+4=xy\)

\(\Leftrightarrow\left(2x-y\right)^2+\left(x-\dfrac{2}{x}\right)^2+4\ge xy\)

Dễ thấy: \(VT\ge4\forall x;y\)\(\Rightarrow VP\ge4\forall x;y\)

Đẳng thức xảy ra khi \(\left(x;y\right)=\left(\sqrt{2};2\sqrt{2}\right);\left(-\sqrt{2};-2\sqrt{2}\right)\)

Bài 3:

Từ \(a^2+b^2=4a+2b+540\)

\(\Leftrightarrow\left(a^2-4a+4\right)+\left(b^2-2b+1\right)=545\)

\(\Leftrightarrow\left(a-2\right)^2+\left(b-1\right)^2=545\)

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có:

\(\left (P-2063 \right )^2=\left [23(a-2)+4(b-1) \right ]^2\)

\(\leq (23^2+4^2)\left [ (a-2)^2+(b-1)^2 \right ]\)

\(\Rightarrow P\le545+2063=2608\)

Đẳng thức xảy ra khi \(a=25;b=5\)