a:

\(0< =cos\left(\dfrac{\Omega}{2n}\right)< =1;n\in Z^+\)

Khi n chẵn thì \(\left(-1\right)^n=1\)

=>\(u_n=cos\left(\dfrac{\Omega}{2n}\right)\)

=>\(0< =u_n< =1\)

=>\(\left(u_n\right)\) bị chặn ở khoảng [0;1]

Khi n lẻ thì \(\left(-1\right)^n=-1\)

=>\(u_n=-cos\left(\dfrac{\Omega}{2n}\right)\)

\(0< =cos\left(\dfrac{\Omega}{2n}\right)< =1\)

=>\(0>=-cos\left(\dfrac{\Omega}{2n}\right)>=-1\)

=>\(0>=u_n>=-1\)

=>\(\left(u_n\right)\) bị chặn ở khoảng [-1;0]

b: \(-1< =\dfrac{1}{5^n}< =0\)

=>\(-\sqrt{2}< =\dfrac{\sqrt{2}}{5^n}< =0\)

=>\(-\sqrt{2}< =t_n< =0\)

Vậy: Dãy số bị chặn ở khoảng \(\left[-\sqrt{2};0\right]\)

a) Ta có: \(n \ge 1\; \Rightarrow n - 1 \ge 0\; \Rightarrow {u_n} \ge 0,\;\forall \;n \in {N^*}\;\)

Do đó, \(\left( {{u_n}} \right)\) bị chặn dưới bởi 0.

\(\left( {{u_n}} \right)\) không bị chặn trên vì không tồn tại số M nào để \(n - 1 < M,\;\forall \;n \in {N^*}\).

b) Ta có:

\(\begin{array}{l}\forall n \in {N^*},{u_n} = \frac{{n + 1}}{{n + 2}} > 0.\\{u_n} = \frac{{n + 1}}{{n + 2}} = \frac{{n + 2 - 1}}{{n + 2}} = 1 - \frac{1}{{n + 2}} < 1,\forall n \in {N^*}\\ \Rightarrow 0 < {u_n} < 1\end{array}\)

Vậy \(\left( {{u_n}} \right)\) bị chặn.

c) Ta có: 

\( - 1 < \sin n < 1\)

\( \Rightarrow  - 1 < {u_n} < 1,\forall n \in {N^*}\)

Vậy \(\left( {{u_n}} \right)\) bị chặn.

d) Ta có: 

Nếu n chẵn, \({u_n} =  - {n^2} < 0\), \(\forall n \in {N^*}\).

Nếu n lẻ, \({u_n} = {n^2} > 0\), \(\forall n \in {N^*}\).

Vậy \(\left( {{u_n}} \right)\) không bị chặn.