Gọi d là ước nguyên tố chung của 2n+5 và 3n+7

=> \(2n+5⋮d\)

\(3n+7⋮d\)

=> \(3.\left(2n+5\right)⋮d\)

\(2.\left(3n+7\right)⋮d\)

=>\(6n+15⋮d\)

\(6n+14⋮d\)

=> (6n+15)-(6n+!4) chia hết cho d

=>1 chia hết cho d

=> d không thể là số nguyên tố

=> 2n+5 và 3n+7 không có ước nguyên tố chung

=> Q là phân số tối giản với mọi n thuộc Z

b) Để Q thuộc Z thì \(2n+5⋮3n+7\)

Ta có \(3n+7⋮3n+7\)

=> \(3.\left(2n+5\right)⋮3n+7\)

\(2.\left(3n+7\right)⋮3n+7\)

=>\(6n+15⋮3n+7\)

\(6n+14⋮3n+7\)

=> (6n+15)-(6n+14) chia hết cho 3n+7

=> 1 chia hết cho 3n+7

=> 3n+7 thuộc {-1;1}

=> với 3n+7=-1 thì n ko là số nguyên

Với 3n+7=1 thì n=-2

1) Gọi \(d=ƯCLN\left(2n+1;3n+2\right)\)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}2n+1⋮d\\3n+2⋮d\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}3\left(2n+1\right)⋮d\\2\left(3n+2\right)⋮d\end{cases}}\)

\(\Rightarrow2\left(3n+2\right)-3\left(2n+1\right)⋮d\)

\(\Rightarrow1⋮d\Rightarrow d=1\Rightarrow2n+1\)và\(3n+2\)là nguyên tố cùng nhau

\(\Rightarrow\frac{2n+1}{3n+2}\)là phân số tối giản\(\left(đpcm\right)\)

câu 1 : 

gọi d = ƯCLN ( 2n + 1; 3n +2 )

=> 2n + 1 chia hết cho d  => 3 ( 2n +1 ) chia hết cho d

    3n + 2 chia hết cho d => 2 ( 3n + 2 ) chia hết cho d

ta có : 3 ( 3n + 2 ) - [ 2 ( 2n + 21) ] hay 6n + 4  - [ 6n + 3 ] chia hết cho d

=> 1 chia hết cho d -> 2n +1 và 3n + 2 là hai số nguyên tố cùng nhau 

=> \(\frac{2n+1}{3n+2}\)  là phân số tối giản

2) \(A=\frac{n+2}{n-5}\left(n\in Z;n\ne5\right)\)

\(\Rightarrow\left(n+2\right)⋮\left(n-5\right)\)

\(\Rightarrow\left(n+2\right)-\left(n-5\right)⋮\left(n-5\right)\)

\(\Rightarrow7⋮n-5\Rightarrow n-5\inƯ\left(7\right)=\left\{\pm1;\pm7\right\}\)

Ta xét bảng:

Vậy\(n\in\left\{-2;4;6;12\right\}\)

Để D nguyên thì

8n-5 chia hết cho 3n+2

=> 24n-15 chia hết cho 3n+2

=> 24n+16-31 chia hết cho 3n+2

Vì 24n+16 chia hết cho 3n+2

=> -31 chia hết cho 3n+2

=> 3n+2 thuộc Ư(31)

Mà n nguyên

=> n \(\in\){-1; -11}

Gọi ƯCLN(8n-5; 3n+2) là d. Ta có:

8n-5 chia hết cho d => 24n-15 chia hết cho d

3n+2 chia hết cho d => 24n+16 chia hết cho d

=> 24n+16-(24n-15) chia hết cho d

=> 31 chia hết cho d

Giả dử phân số rút gọn được

=> 3n+2 chia hết cho 31

=> 3n+2+31 chia hết cho 31

=> 3n+33 chia hết cho 31

=> 3(n+11) chia hết cho 31

=> n+11 chia hết cho 31

=> n = 31k-11

KL: Để D tối giản thì n \(\ne\)31k-11

1.Cho A=\(\dfrac{n+1}{n-2}\)

a)Tìm n ∈ Z để A là phân số

Để A là phân số thì n+1;n-2 ∈​ Z ; n-2 khác 0

<=> n ∈​ Z; n >2

Vậy A là phân số <=> n ∈​ Z; n>2

b)Tìm n∈Z để A∈Z

A ∈​ Z <=> n+1 chia hết cho n-2

<=>n-2+3 chia hết cho n-2

<=>3 chia hết cho n-2 ( vì n-2 chia hết cho n-2)

<=>n-2 ∈​ Ư(3)={1;-1;3;-3}

<=>n ∈​ {3;1;5;-1}

Vậy để A ∈ Z thì n ∈​ {3;1;5;-1}

c)Tìm N∈Z để A lớn nhất

2.Cho B=\(\dfrac{3n+2}{4n+3}\)

Chứng minh B tối giản

1c) Tìm n∈Z để A lớn nhất:

Ta có A=\(\dfrac{n+1}{n-2}\)=\(\dfrac{n-2+3}{n-2}\)=\(\dfrac{n-2}{n-2}\)+\(\dfrac{3}{n-2}\)=1+\(\dfrac{3}{n-2}\)

=> A lớn nhất <=> \(\dfrac{3}{n-2}\) lớn nhất

<=>n-2 nhỏ nhất; n-2>0; n-2∈Z

<=>n-2=1

<=>n=3

Vậy A lớn nhất <=> n-3

a) Để \(A=\frac{3x+2}{x+1}\) là số nguyên thì:

\(3x+2⋮x+1\)

Ta có: 3x + 2 = 3(x + 1) - 1

mà 3x + 2 \(⋮\)x+1 => 3(x + 1) - 1\(⋮\)x + 1

có x + 1 \(⋮\)x+1 => -1 \(⋮\)x+1  hay x + 1 \(\in\)Ư(-1) = {1;-1}

Ta có bảng sau:

Vậy để \(A=\frac{3x+2}{x+1}\) là số nguyên thì x = 0 hoặc x = 2

b) Gọi ƯCLN(3n + 2, 2n + 1) = d (d \(\in\)N)

\(=>\hept{\begin{cases}3n+2⋮d\\2n+1⋮d\end{cases}}\)

\(=>\hept{\begin{cases}2\left(3n+2\right)⋮d\\3\left(2n+1\right)⋮d\end{cases}}\)

\(=>\hept{\begin{cases}6n+4⋮d\\6n+3⋮d\end{cases}}\)

\(=>\left(6n+4\right)-\left(6n+3\right)⋮d\)

\(=>1⋮d\) \(=>d=1\)

Vậy phân số \(B=\frac{3n+2}{2n+1}\) là phân số tối giản

1) Gọi d= ƯCLN(2n +1; 3n+2)

=> 2n + 1 chia hết cho d => 3.(2n+1) chia hết cho d

3n+2 chia hết cho d => 2.(3n+2) chia hết cho d

=> 2.(3n+2) - 3.(2n+1) chia hết cho d

=> 1 chia hết cho d => d = 1 => 2n + 1 và 3n + 2 là nguyên tố cùng nhau => ps đã cho tối giản

2) Để A thuộc Z thì n+ 2 phải chia hết cho n - 5

=> (n+ 2) - (n-5) chia hết cho n - 5

=> 7 chia hết cho n - 5 hay n - 5 thuộc Ư(7) = {-1;1; 7;-7}

Vậy n \(\in\) {-2;4;6;12}

1) Gọi d= ƯCLN(2n +1; 3n+2)

=> 2n + 1 chia hết cho d => 3.(2n+1) chia hết cho d

3n+2 chia hết cho d => 2.(3n+2) chia hết cho d

=> 2.(3n+2) - 3.(2n+1) chia hết cho d

=> 1 chia hết cho d => d = 1 => 2n + 1 và 3n + 2 là nguyên tố cùng nhau => ps đã cho tối giản

2) Để A thuộc Z thì n+ 2 phải chia hết cho n - 5

=> (n+ 2) - (n-5) chia hết cho n - 5

=> 7 chia hết cho n - 5 hay n - 5 thuộc Ư(7) = {-1;1; 7;-7}

Vậy n $\in$∈ {-2;4;6;12}

a, \(A=\dfrac{5n-4-4n+5}{n-3}=\dfrac{n+1}{n-3}=\dfrac{n-3+4}{n-3}=1+\dfrac{4}{n-3}\Rightarrow n-3\inƯ\left(4\right)=\left\{\pm1;\pm2;\pm4\right\}\)

a.\(A=\dfrac{2n+1}{n-3}+\dfrac{3n-5}{n-3}-\dfrac{4n-5}{n-3}\)

\(A=\dfrac{2n+1+3n-5-4n+5}{n-3}\)

\(A=\dfrac{n+1}{n-3}\)

\(A=\dfrac{n-3}{n-3}+\dfrac{4}{n-3}\)

\(A=1+\dfrac{4}{n-3}\)

Để A nguyên thì \(\dfrac{4}{n-3}\in Z\) hay \(n-3\in U\left(4\right)=\left\{\pm1;\pm2;\pm4\right\}\)

n-3=1 --> n=4

n-3=-1 --> n=2

n-3=2 --> n=5

n-3=-2 --> n=1

n-3=4 --> n=7

n-3=-4 --> n=-1

Vậy \(n=\left\{4;2;5;7;1;-1\right\}\) thì A nhận giá trị nguyên

b.hemm bt lèm:vv

cc