Áp dụng định lí sin trong tam giác ABC ta có:

\(\frac{{AB}}{{\sin C}} = \frac{{BC}}{{\sin A}}\)

\( \Rightarrow \sin C = \sin A.\frac{{AB}}{{BC}} = \sin {120^o}.\frac{5}{7} = \frac{{5\sqrt 3 }}{{14}}\)

\( \Rightarrow \widehat C \approx 38,{2^o}\) hoặc \(\widehat C \approx 141,{8^o}\) (Loại)

Ta có: \(\widehat A = {120^o},\widehat C = 38,{2^o}\)\( \Rightarrow \widehat B = {180^o} - \left( {{{120}^o} + 38,{2^o}} \right) = 21,{8^o}\)

Áp dụng định lí cosin trong tam giác ABC ta có:

\(\begin{array}{l}A{C^2} = A{B^2} + B{C^2} - 2.AB.BC.\cos B\\ \Leftrightarrow A{C^2} = {5^2} + {7^2} - 2.5.7.\cos 21,{8^o}\\ \Rightarrow A{C^2} \approx 9\\ \Rightarrow AC = 3\end{array}\)

Vậy độ dài cạnh AC là 3.

\(\dfrac{BC}{sinA}=\dfrac{AB}{sinC}\)

=>BC/sin120=a/sin30=2a

=>BC=a*căn 3

aloaloalao

Áp dụng định lý côsin ta có:

BC2 = AB2 + AC2 – 2.AB.AC.cos A

= m2 + n2 – 2.m.n.cos120º

= m2 + n2 + mn.

⇒ BC = √( m2 + n2 + mn).

????????????

Ta có \(\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}=180^o\Rightarrow\widehat{A}=75^o\)

* \(\dfrac{BC}{sinA}=\dfrac{AB}{sinC}\Rightarrow AB=\dfrac{BCsinC}{sinA}=a\left(1+\sqrt{3}\right)\)

* \(\dfrac{BC}{sinA}=\dfrac{AC}{sinB}\Rightarrow AC=\dfrac{BCsinB}{sinA}=a\left(\dfrac{-6+3\sqrt{2}}{2}\right)\)

a) Xét 2 tam giác vuông BAM và CAN có:

\(\widehat{BAM} = \widehat{CAM}(=90^0)\)

AB=AC (Do tam giác ABC cân tại A)

\(\widehat B = \widehat C\) (Do tam giác ABC cân tại A)

=>\(\Delta BAM = \Delta CAN\)(g.c.g)

b) Cách 1: 

Xét tam giác ABC cân tại A, có \(\widehat {A{\rm{ }}} = 120^\circ \) có:

\(\widehat B = \widehat C = \frac{{{{180}^o} - {{120}^o}}}{2} = {30^o}\).

Xét tam giác ABM vuông tại A có:

\(\widehat {B} + \widehat {BAM} + \widehat {AMB} = {180^o}\\ \Rightarrow {30^o} + {90^o} + \widehat {AMB} = {180^o}\\ \Rightarrow \widehat {AMB} = {60^o}\\ \Rightarrow \widehat {AMC} = {180^o} - \widehat {AMB} = {180^o} - {60^o} = {120^o}\)

Xét tam giác MAC có:

\(\begin{array}{l}\widehat {AMC} + \widehat {MAC} + \widehat C = {180^o}\\ \Rightarrow {120^o} + \widehat {MAC} + {30^o} = {180^o}\\ \Rightarrow \widehat {MAC} = {30^o} = \widehat C\end{array}\)

\(\Rightarrow \) Tam giác AMC cân tại M.

Vì \(\Delta BAM = \Delta CAN\)

=> BM=CN ( 2 cạnh tương ứng)

=> BM+MN=CN+NM

=> BN=CM

Xét 2 tam giác ANB và AMC có:

AB=AC (cmt)

\(AN = AM\)(do \(\Delta BAM = \Delta CAN\))

BN=MC (cmt)

=>\(\Delta ANB = \Delta AMC\)(c.c.c)

Mà tam giác AMC cân tại M.

=> Tam giác ANB cân tại N.

Cách 2: 

Xét tam giác ABC cân tại A, có \(\widehat {A{\rm{ }}} = 120^\circ \) có:

\(\widehat B = \widehat C = \frac{{{{180}^o} - {{120}^o}}}{2} = {30^o}\).

Xét tam giác ABM vuông tại A có:

\(\widehat B + \widehat {BAM} + \widehat {AMB} = {180^o}\\ \Rightarrow {30^o} + {90^o} + \widehat {AMB} = {180^o}\\ \Rightarrow \widehat {AMB} = {60^o}\)

Vì \(\Delta BAM = \Delta CAN\) nên AM = AN (2 cạnh tương ứng)

=> \(\Delta AMN\) đều (Tam giác cân có 1 góc bằng 60 độ)

=> \(\widehat {NAM}=60^0\)

Ta có: \(\widehat{BAN}+\widehat{NAM}=\widehat{BAM}\)

=> \(\widehat{BAN} + 60^0=90^0\)

=> \(\widehat{BAN}=30^0\)

Xét tam giác ABN có \(\widehat{BAN}=\widehat{ABN}(=30^0\) nên \(\Delta ABN\) cân tại N.

Ta có: \(\widehat{CAM}+\widehat{NAM}=\widehat{CAN}\)

=> \(\widehat{CAM} + 60^0=90^0\)

=> \(\widehat{CAM}=30^0\)

Xét tam giác ACM có \(\widehat{CAM}=\widehat{ACM}(=30^0\) nên \(\Delta ACM\) cân tại M.