Ủa số thực âm hay không âm vậy em?

Đặt \(a+b+c=p\) ; \(ab+bc+ca=q\) ; \(abc=r\)

\(\Rightarrow p^2\ge3q\)

Từ giả thiết: \(4q=9r+1\)

Áp dụng BĐT Schur bậc 3:  \(r\ge\dfrac{4pq-p^3}{9}\)

\(\Rightarrow4q\ge4pq-p^3+1\Leftrightarrow p^3-1+4q-4pq\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(p-1\right)\left(p^2+p+1-4q\right)\ge0\)

Nếu \(p< 1\Rightarrow p^2+p+1-4q\le0\)

Mà \(p< 1\Rightarrow1>p^2\Rightarrow0\ge p^2+p+1-4q>p^2+p+p^2-4q\)

\(\Rightarrow2\left(p^2-2q\right)+p< 0\) (vô lý do \(p^2\ge3q\ge2q\))

\(\Rightarrow p\ge1\)

Vậy \(P_{min}=1\) khi \(a=b=c=\dfrac{1}{3}\) hoặc \(\left(a;b;c\right)=\left(\dfrac{1}{2};\dfrac{1}{2};0\right)\) và các hoán vị

Lời giải:

Đặt $a+b+c=p; ab+bc+ac=q=1; abc=r$

$p,r\geq 0$

Áp dụng BĐT AM-GM: $p^2\geq 3q=3\Rightarrow p\geq \sqrt{3}$

$a,b,c\leq 1\Leftrightarrow (a-1)(b-1)(c-1)\leq 0$

$\Leftrightarrow p+r\leq 2\Rightarrow p\leq 2$

$P=\frac{(a+b+c)^2-2(ab+bc+ac)+3}{a+b+c-abc}=\frac{(a+b+c)^2+1}{a+b+c-abc}=\frac{p^2+1}{p-r}$

Ta sẽ cm $P\geq \frac{5}{2}$ hay $P_{\min}=\frac{5}{2}$

$\Leftrightarrow \frac{p^2+1}{p-r}\geq \frac{5}{2}$

$\Leftrightarrow 2p^2-5p+2+5r\geq 0(*)$

---------------------------

Thật vậy:

Áp dụng BĐT Schur thì:

$p^3+9r\geq 4p\Rightarrow 5r\geq \frac{20}{9}p-\frac{5}{9}p^3$

Khi đó:

$2p^2-5p+2+5r\geq 2p^2-5p+2+\frac{20}{9}p-\frac{5}{9}p^3=\frac{1}{9}(2-p)(5p^2-8p+9)\geq 0$ do $p\leq 2$ và $p\geq \sqrt{3}$

$\Rightarrow (*)$ được CM

$\Rightarrow P_{\min}=\frac{5}{2}$

Dấu "=" xảy ra khi $(a,b,c)=(1,1,0)$ và hoán vị

Lỗi

Ta có:

\(\dfrac{ab}{c}+\dfrac{bc}{a}\ge2\sqrt{\dfrac{ab}{c}.\dfrac{bc}{a}}=2b\)

Tương tự: \(\dfrac{ab}{c}+\dfrac{ca}{b}\ge2a\) ; \(\dfrac{bc}{a}+\dfrac{ca}{b}\ge2c\)

Cộng vế:

\(2P\ge2\left(a+b+c\right)\Rightarrow P\ge a+b+c=1\)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=\dfrac{1}{3}\)

Lời giải:

Do $a\geq 4, b\geq 5, c\geq 6$

$\Rightarrow c^2=90-a^2-b^2\leq 90-4^2-5^2=49$

$\Rightarrow c\leq 7$

$a^2=90-b^2-c^2\leq 90-5^2-6^2=29< 81$

$\Rightarrow a< 9$

$b^2=90-a^2-c^2=90-4^2-6^2=38< 64$

$\Rightarrow b< 8$

Vậy $4\leq a< 9, 5\leq b< 8, 6\leq c\leq 7$

Suy ra:

$(a-4)(a-9)\leq 0$

$(b-5)(b-8)\leq 0$

$(c-6)(c-7)\leq 0$

$\Rightarrow (a-4)(a-9)+(b-5)(b-8)+(c-6)(c-7)\leq 0$

$\Rightarrow a^2+b^2+c^2+118\leq 13(a+b+c)$

$\Rightarrow 90+208\leq 13P$
$\Rightarrow P\geq 16$

Vậy $P_{\min}=16$. Giá trị này đạt tại $(a,b,c)=(4,5,7)$

\(P=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{4}{c}\ge\frac{\left(1+1+2\right)^2}{a+b+c}=4\)

Suy ra \(minP=4\).

Dấu \(=\)xảy ra khi \(\hept{\begin{cases}\frac{1}{a}=\frac{1}{b}=\frac{2}{c}\\a+b+c=4\\a,b,c>0\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a=b=1\\c=2\end{cases}}\).