Cho \(\Delta\)ABC cân, đáy BC: x+y-1=0, đường cao BB': x-2y-2=0 và đường cao chứa đường cao CC' đi qua M0(-2;0). Viết phương trình các đường cao và các cạnh còn lại của tam giác.
Cho tam giác ABC, biết phương trình một cạnh và hai đường cao. Viết phương trình hai cạnh và đường cao còn lại với
a, AB: 4x+y-12=0, BB': 5x-4y-15=0, CC': 2x+2y-9=0
b, BC: 5x-3y+2=0, BB': 4x-3y+1=0, CC': 7x+2y-22=0
c, BC: x-y+2=0, BB': 2x-7y-6=0, CC': 7x-2y-1=0
d, BC: 5x-3y+2=0, BB': 2x-y-1=0, CC': x+3y-1=0
4 câu làm tương tự nhau, nhưng câu a chắc bạn ghi nhầm đề (hoặc đề sai). Do \(AB\perp CC'\) nhưng \(4.2+1.2\ne0\) là hoàn toàn vô lý
Mình làm câu b, 2 câu còn lại bạn làm tương tự
Gọi H là trực tâm tam giác \(\Rightarrow\) H là giao điểm BB' và CC'
Tọa độ H là nghiệm \(\left\{{}\begin{matrix}4x-3y+1=0\\7x+2y-22=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow H\left(\frac{64}{29};\frac{95}{29}\right)\)
B là giao điểm BC và BB' nên tọa độ B là nghiệm:
\(\left\{{}\begin{matrix}5x-3y+2=0\\4x-3y+1=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow B\left(-1;-1\right)\)
C là giao điểm BC và CC' nên tọa độ C là nghiệm:
\(\left\{{}\begin{matrix}5x-3y+2=0\\7x+2y-22=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow C\left(2;4\right)\)
Đường AA' đi qua H và vuông góc BC nên nhận \(\left(3;5\right)\) là 1 vtpt
Phương trình AA':
\(3\left(x-\frac{64}{29}\right)+5\left(x-\frac{95}{29}\right)=0\Leftrightarrow3x+5y-23=0\)
Đường thẳng AB qua B và vuông góc CC' nên nhận \(\left(2;-7\right)\) là 1 vtpt
Phương trình AB:
\(2\left(x+1\right)-7\left(y+1\right)=0\Leftrightarrow2x-7y-5=0\)
Đường thẳng AC qua C và vuông góc BB' nên nhận \(\left(3;4\right)\) là 1 vtpt
Phương trình AC:
\(3\left(x-2\right)+4\left(y-4\right)=0\Leftrightarrow3x+4y-22=0\)
BÀI 1: cho tam giác ABC,biết pt 1 cạnh và hai đường cao.Viết PTTQ hai cạnh và đường cao còn lại,với
a, BC:4x+y-12=0;BB'=5x-4y+5=0;CC'=2x+2y-9=0
b, BC:5x-3y+2=0;BB':4x-3y+1=0;CC'=7x+2y-22=0
BÀI 2: cho tam giác ABC và tọa độ một đỉnh và phương trình đường cao.Viết phương trình các cạnh của tam giác đó với:
a, A(3,0),BB'=2x+2y-9=0;CC'=3x-12y-1=0
b,A(1,0), BB'=x-2y+1=0;CC'=3x+y-1=0
trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho tam giác ABC cân tại a. đường thẳng BC và đường cao kẻ từ B lần lượt có phương trình x+y+1=0, x-2y -2=0, điểm M (2,1) thuộc đường cao kẻ từ C. Xác định tọa độ các đỉnh tam giác ABC
Tọa độ B là nghiệm: \(\left\{{}\begin{matrix}x+y+1=0\\x-2y-2=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow B\left(0;-1\right)\)
Gọi vtpt của đường thẳng CM (cũng là đường cao kẻ từ C) có tọa độ \(\left(a;b\right)\)
H là chân đường cao kẻ từ B
\(cos\widehat{HBC}=\dfrac{\left|1.1+1.\left(-2\right)\right|}{\sqrt{1^2+1^2}.\sqrt{1^2+\left(-2\right)^2}}=\dfrac{1}{\sqrt{10}}\)
\(\Rightarrow cos\widehat{MCB}=cos\widehat{HBC}=\dfrac{1}{\sqrt{10}}=\dfrac{\left|a+b\right|}{\sqrt{a^2+b^2}.\sqrt{1^2+1^2}}\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{5}\left|a+b\right|\Leftrightarrow a^2+b^2=5\left(a+b\right)^2\)
\(\Leftrightarrow2a^2+5ab+2b^2=0\Leftrightarrow\left(a+2b\right)\left(2a+b\right)=0\)
Chọn \(\left(a;b\right)=\left[{}\begin{matrix}\left(2;-1\right)\\\left(1;-2\right)\end{matrix}\right.\) (trường hợp (1;-2) loại do song song BH)
\(\Rightarrow\) Phương trình đường cao kẻ từ C:
\(2\left(x-2\right)-1\left(y-1\right)=0\Leftrightarrow2x-y-3=0\)
Tọa độ C là nghiệm: \(\left\{{}\begin{matrix}x+y+1=0\\2x-y-3=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow C\left(...\right)\)
Gọi N là trung điểm BC \(\Rightarrow\) tọa độ N
Tam giác ABC cân tại A \(\Rightarrow\) AN là trung tuyến đồng thời là đường cao
\(\Rightarrow\) Đường thẳng AN vuông góc BC \(\Rightarrow\) nhận (1;-1) là 1 vtpt và đi qua N
\(\Rightarrow\) Phương trình AN
Đường thẳng AB vuông góc CM nên nhận (1;2) là 1 vtpt
\(\Rightarrow\) Phương trình AB (đi qua B và biết vtpt)
\(\Rightarrow\) Tọa độ A là giao điểm AB và AN
Cho phương trình của các cạnh và đường cao của tam giác ABC là :
AB: 2x-y+2=0; BH: x=0; AH: x-2y+1=0. Tìm A,B,C và viết phương trình đường cao CH. Tính diện tích tam giác. Tìm M,N,P đối xứng với A qua Ox, Oy và BC
H là trực tâm của tam giác nhỉ.
A có tọa độ là nghiệm của hệ\(\left\{{}\begin{matrix}2x-y+2=0\\x-2y+1=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=-1\\y=0\end{matrix}\right.\Rightarrow A\left(-1;0\right)\)
B có tọa độ là nghiệm của hệ\(\left\{{}\begin{matrix}2x-y+2=0\\x=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=0\\y=2\end{matrix}\right.\Rightarrow B\left(0;2\right)\)
H có tọa độ là nghiệm của hệ\(\left\{{}\begin{matrix}x-2y+1=0\\x=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=0\\y=\dfrac{1}{2}\end{matrix}\right.\Rightarrow H\left(0;\dfrac{1}{2}\right)\)
Phương trình đường thẳng AC: \(y=0\)
Phương trình đường thẳng CH: \(x+2y-1=0\)
C có tọa độ là nghiệm của hệ \(\left\{{}\begin{matrix}y=0\\x+2y-1=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=1\\y=0\end{matrix}\right.\Rightarrow H\left(1;0\right)\)
Cho tam giác ABC có phương trình các cạnh AB: x + y - 9 = 0, phương trình các đường cao qua đỉnh A là x + 2y - 13 = 0 (d1), qua B là 7x + 5y - 49 = 0 (d2). Lập phương trình cạnh AC, BC và đường cao còn lại
Cho tam giác ABC, đường cao BH: x+2y-3=0, trung tuyến AM: 3x+3y-8=0, BC đi qua N (3, -2). Tìm tọa độ B, C biết C thuộc d : x-y+2=0
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có phương trình các đường thẳng chứa trung tuyến và đường cao kẻ từ C lần lượt lsf y+2=0 và 3x-2y+8=0. Đường thẳng chứa trung tuyến kẻ từ A đi qua K(-18;3). Tính góc ABC biết rằng điểm A có tung độ âm và thuộc đường thẳng d: x+2y+2=0.
Cho tam giác ABC cân tại A, BC:x+2y-17=0, đường cao CK: 4x+3y-28=0. Đường cao BH đi qua M(1;6). Tìm tọa độ A và diện tích tam giác ABC
Tọa độ C là nghiệm \(\left\{{}\begin{matrix}x+2y-17=0\\4x+3y-28=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow C\left(1;8\right)\)
Đường thẳng BC nhận (1;2) là vtpt đường thẳng CK nhận (4;3) là vtpt
Do B thuộc BC, gọi tọa độ B có dạng: \(B\left(-2b+17;b\right)\Rightarrow\overrightarrow{BM}=\left(2b-16;6-b\right)\)
\(\Rightarrow\) Đường thẳng BM nhận \(\left(b-6;2b-16\right)\) là 1 vtpt
Do tam giác cân tại A \(\Rightarrow\widehat{MBC}=\widehat{KCB}\)
\(\Rightarrow\dfrac{\left|1.4+2.3\right|}{\sqrt{1^2+2^2}\sqrt{4^2+3^2}}=\dfrac{\left|1\left(b-6\right)+2\left(2b-16\right)\right|}{\sqrt{1^2+2^2}.\sqrt{\left(b-6\right)^2+\left(2b-16\right)^2}}\)
\(\Leftrightarrow2=\dfrac{\left|5b-38\right|}{\sqrt{5b^2-76b+292}}\)
\(\Leftrightarrow4\left(5b^2-76b+292\right)=\left(5b-38\right)^2\)
\(\Leftrightarrow5b^2-76b+276=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}b=6\\b=\dfrac{46}{5}\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}B\left(5;6\right)\\B\left(-\dfrac{7}{5};\dfrac{46}{5}\right)\end{matrix}\right.\)
Trường hợp B(5;6) loại do khi đó \(\overrightarrow{BM}=\left(-1;-2\right)\) cùng phương BC (vô lý)
Gọi N là trung điểm BC \(\Rightarrow N\left(...\right)\)
Đường cao AN qua N và nhận \(\overrightarrow{BC}\) là 1 vtpt \(\Rightarrow\) phương trình AN
Đường thẳng AB qua B và vuông góc CK nên nhận (3;-4) là 1 vtpt \(\Rightarrow\) phương trình AB
\(\Rightarrow\) Tọa độ A là giao điểm AN và AB
Tính độ dài AN và BC \(\Rightarrow\) diện tích tam giác
Cho tam giác ABC, biết tọa độ một đỉnh và phương trình hai đường cao. Viết phương trình các cạnh của tam giác đó, với:
a, A(3;0), BB': 2x+2y-9=0, CC': 3x-12y-1=0
b, A(1;0), BB': x-2y+1=0, CC': 3x+y-1=0
2 câu giống nhau, mình làm câu a, bạn tự làm câu b
Đường thẳng AC qua A vuông góc BB' nên nhận \(\left(1;-1\right)\) là 1 vtpt
Phương trình AC:
\(1\left(x-3\right)-1\left(y-0\right)=0\Leftrightarrow x-y-3=0\)
Đường thẳng AB qua A và vuông góc CC' nên nhận \(\left(4;1\right)\) là 1 vtpt
Phương trình AB:
\(4\left(x-3\right)+1\left(y-0\right)=0\Leftrightarrow4x+y-12=0\)
Gọi H là trực tâm tam giác \(\Rightarrow H\) là giao điểm BB' và CC'
Tọa độ H là nghiệm \(\left\{{}\begin{matrix}2x+2y-9=0\\3x-12y-1=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow H\left(\frac{11}{3};\frac{5}{6}\right)\)
\(\Rightarrow\overrightarrow{AH}=\left(\frac{2}{3};\frac{5}{6}\right)=\frac{1}{6}\left(4;5\right)\)
Do AH vuông góc BC nên đường thẳng BC nhận \(\left(4;5\right)\) là 1 vtpt
B là giao điểm AB và BB' nên tọa độ B là nghiệm:
\(\left\{{}\begin{matrix}4x+y-12=0\\2x+2y-9=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow B\left(\frac{5}{2};2\right)\)
Phương trình BC:
\(4\left(x-\frac{5}{2}\right)+5\left(y-2\right)=0\Leftrightarrow4x+5y-20=0\)