\(7,\\ a,ĐK:a>0;a\ne1\\ b,K=\dfrac{a-1}{\sqrt{a}\left(\sqrt{a}-1\right)}:\dfrac{\sqrt{a}-1+2}{\left(\sqrt{a}-1\right)\left(\sqrt{a}+1\right)}\\ K=\dfrac{\left(\sqrt{a}-1\right)\left(\sqrt{a}+1\right)}{\sqrt{a}\left(\sqrt{a}-1\right)}\cdot\dfrac{\left(\sqrt{a}-1\right)\left(\sqrt{a}+1\right)}{\sqrt{a}+1}=\dfrac{a-1}{\sqrt{a}}\\ c,a=3+2\sqrt{2}=\left(\sqrt{2}+1\right)^2\\ \Leftrightarrow K=\dfrac{3+2\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}+1}=\dfrac{2+2\sqrt{2}}{\sqrt{2}+1}=\dfrac{2\left(\sqrt{2}+1\right)}{\sqrt{2}+1}=2\\ d,K< 0\Leftrightarrow a-1< 0\left(\sqrt{a}>0\right)\Leftrightarrow0< a< 1\)

Bài 1:
Tổng số tuổi của hai chị em hiện nay là:

$24+8+8=40$ (tuổi)

Tổng số phần bằng nhau: $3+5=8$ (phần)

Tuổi em hiện nay là:

$40:8\times 3=15$ (tuổi)

Tuổi chị hiện nay là:

$40-15=25$ (tuổi)

Bài 2:

Hiện nay tổng số tuổi của cô và cháu là:
$50+2+2=54$ (tuổi)

Tổng số phần bằng nhau: $2+7=9$ (phần)

Tuổi của cháu hiện nay là:
$54:9\times 2=12$ (tuổi)

Tuổi của cô hiện nay là:

$54:9\times 7=42$ (tuổi)

Bài 4:

Gọi tuổi em và tuổi chị lần lượt là $a$ và $b$ tuổi

Theo bài ra ta có:

$a+b=12$

Khi tuổi em bằng tuổi chị thì tuổi chị là:
$b+(b-a)=2\times b-a$

$2\times b-a=\frac{5}{3}\times b$

$2\times b-\frac{5}{3}\times b=a$
$\frac{1}{3}\times b=a$

Tổng số phần bằng nhau: $1+3=4$ (phần)

Tuổi em hiện nay: $12:4\times 1=3$ (tuổi)

Tuổi chị hiện nay: $12:4\times 3=9$ (tuổi)

Bài 8:

\(1,P=\dfrac{x+3\sqrt{x}+2+2x-4\sqrt{x}-2-5\sqrt{x}}{\left(\sqrt{x}-2\right)\left(\sqrt{x}+2\right)}=\dfrac{3x-6\sqrt{x}}{\left(\sqrt{x}-2\right)\left(\sqrt{x}+2\right)}\\ P=\dfrac{3\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-2\right)}{\left(\sqrt{x}-2\right)\left(\sqrt{x}+2\right)}=\dfrac{3\sqrt{x}}{\sqrt{x}+2}\\ 2,P=2\Leftrightarrow2\sqrt{x}+4=3\sqrt{x}\Leftrightarrow\sqrt{x}=4\\ \Leftrightarrow x=16\left(tm\right)\)

Bài 9:

\(a,M=\dfrac{x-1}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-1\right)}:\dfrac{\sqrt{x}+1}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}\\ M=\dfrac{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-1\right)}\cdot\left(\sqrt{x}-1\right)\\ M=\dfrac{x-1}{\sqrt{x}}\\ b,M>0\Leftrightarrow x-1>0\left(\sqrt{x}>0\right)\\ \Leftrightarrow x>1\)

Bài 10:

\(a,A=\dfrac{\sqrt{\left(x+3\right)^2}}{x+3}=\dfrac{\left|x+3\right|}{x+3}\)

Với \(x\ge-3\Leftrightarrow A=\dfrac{x+3}{x+3}=1\)

Với \(x< -3\Leftrightarrow A=\dfrac{-\left(x+3\right)}{x+3}=-1\)

\(b,B=\dfrac{2}{x-1}\cdot\dfrac{\left|x-1\right|}{2\left|x\right|}\)

Với \(0< x< 1\Leftrightarrow B=\dfrac{2}{x-1}\cdot\dfrac{-\left(x-1\right)}{2x}=-\dfrac{1}{x}\)

b: \(=8+2\cdot3-7\cdot1.3+3\cdot\dfrac{5}{4}=8.65\)

11 c)

\(a^2+2\ge2\sqrt{a^2+1}\Leftrightarrow a^2+1-2\sqrt{a^2+1}+1\ge0\Leftrightarrow\left(\sqrt{a^2+1}-1\right)^2\ge0\) (luôn đúng)

12 a)  Có a+b+c=1\(\Rightarrow\) (1-a)(1-b)(1-c)= (b+c)(a+c)(a+b) (*)

áp dụng BĐT cô-si: \(\left(b+c\right)\left(a+c\right)\left(a+b\right)\ge2\sqrt{bc}2\sqrt{ac}2\sqrt{ab}=8\sqrt{\left(abc\right)2}=8abc\) ( luôn đúng với mọi a,b,c ko âm ) 

b)  áp dụng BĐT cô-si: \(c\left(a+b\right)\le\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{4}=\dfrac{1}{4}\)

Tương tự: \(a\left(b+c\right)\le\dfrac{1}{4};b\left(c+a\right)\le\dfrac{1}{4}\)

\(\Rightarrow abc\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\le\dfrac{1}{4}\dfrac{1}{4}\dfrac{1}{4}=\dfrac{1}{64}\)

13 b) \(\left(a+b\right)\left(ab+1\right)\ge2\sqrt{ab}.2\sqrt{ab}=4ab\)

Dấu = xảy ra khi a=b=1

Bài 5:

Lãi suất tiết kiệm của ba tháng:

180000 × 100% : 10000000 = 1,8%

Bài 6

Giá mỗi kg đường tăng:

10500 - 7200 = 3300 (đồng)

Số % tăng thêm so với năm ngoái:

3300 × 100% : 7200 ≈ 46%

Số tiền mua 35 kg đường năm ngoái:

7200 × 35 = 252000 (đồng)

Số kg đường mua được với 252000 đồng:

252000 : 10500 = 24 (kg)

Bài 8

Số tiền lãi khi bán hết số hàng:

50400000 - 45000000 = 5400000 (đồng)

Số tiền lãi so với số tiền mua hàng:

5400000 × 100% : 50400000 ≈ 10,7%

câu đầu tiên đây em nhé, k đúng cho chị nhaa

Câu 20:

Ta có:  \(\widehat{A}-\widehat{B}=40^0\Rightarrow\widehat{B}=\widehat{A}-40^0\)

\(\widehat{A}=2\widehat{C}\Rightarrow\widehat{C}=\frac{\widehat{A}}{2}\)

Vì AB//CD (gt) \(\Rightarrow\widehat{A}+\widehat{D}=180^0\)(hai góc trong cùng phía)\(\Rightarrow\widehat{D}=180^0-\widehat{A}\)

Tứ giác ABCD \(\Rightarrow\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}+\widehat{D}=360^0\Rightarrow\widehat{A}+\left(\widehat{A}-40^0\right)+\frac{\widehat{A}}{2}+\left(180^0-\widehat{A}\right)=360^0\)

Và đến đây bạn dễ dàng tìm được góc A và từ đó suy ra được góc D.

Câu 29: Ta có: 

\(\hept{\begin{cases}xy+x+y=3\\yz+y+z=8\\xz+x+z=15\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}xy+x+y+1=4\\yz+y+z+1=9\\xz+x+z+1=16\end{cases}\Leftrightarrow}\hept{\begin{cases}x\left(y+1\right)+\left(y+1\right)=4\\y\left(z+1\right)+\left(z+1\right)=9\\x\left(z+1\right)+\left(z+1\right)=16\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\left(x+1\right)\left(y+1\right)=4\\\left(y+1\right)\left(z+1\right)=9\\\left(z+1\right)\left(x+1\right)=16\end{cases}}\)

Đặt \(\hept{\begin{cases}x+1=a\\y+1=b\\z+1=c\end{cases}}\)với a,b,c > 1, khi đó ta có 

\(\hept{\begin{cases}ab=4\\bc=9\\ca=16\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}abbc=4.9\\c=\frac{9}{b}\\ca=16\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}16b^2=36\\c=\frac{9}{b}\\a=\frac{16}{c}\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}b^2=\frac{36}{16}=\frac{9}{4}\\c=\frac{9}{b}\\a=\frac{16}{c}\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}b=\frac{3}{2}\\c=\frac{9}{\frac{3}{2}}=6\\a=\frac{16}{6}=\frac{8}{3}\end{cases}}\)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}x=a-1=\frac{8}{3}-1=\frac{5}{3}\\y=b-1=\frac{3}{2}-1=\frac{1}{2}\\z=c-1=6-1=5\end{cases}}\)

Vậy \(P=x+y+z=\frac{5}{3}+\frac{1}{2}+5=\frac{10+3+30}{6}=\frac{43}{6}\)