Bài này thắng làm  rồi 

\(Q\ge\sqrt{\frac{x^{10}y^{10}}{x^2y^2}}+\frac{1}{2}\sqrt{x^{16}y^{16}}-\left(x^2y^2+1\right)^2\)

\(Q\ge\frac{1}{2}\left(xy\right)^8+\left(xy\right)^4-\left(x^2y^2+1\right)^2\)

Đặt \(x^2y^2=a\ge0\Rightarrow Q\ge\frac{1}{2}a^4+a^2-\left(a+1\right)^2\)

\(Q\ge\frac{1}{2}a^4-2a-1=\frac{1}{2}a^4-2a+\frac{3}{2}-\frac{5}{2}\)

\(Q\ge\frac{1}{2}\left(a-1\right)^2\left(a^2+2a+3\right)-\frac{5}{2}\ge-\frac{5}{2}\)

\(Q_{min}=-\frac{5}{2}\) khi \(a=1\) hay \(x^2=y^2=1\)

Ta có: \(A=\frac{x^2+25x+144}{x}=x+\frac{144}{x}+25\)

Các số dương : x và \(\frac{144}{x}\) có tích k đổi nên tổng nhỏ nhất và chỉ khi  \(x=\frac{144}{x}\)=> x=12

Vậy Min A = 49 khi và chỉ khi x=12

\(A=\frac{\left(x+16\right)\left(x+9\right)}{x}=\frac{x^2+25x+144}{x}=x+25+\frac{144}{x}\)

Vì \(x>0\)\(\Rightarrow\) Áp dụng bđt Cô si ta có:

\(x+\frac{144}{x}\ge2\sqrt{x.\frac{144}{x}}=2.\sqrt{144}=2.12=24\)

Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow x=\frac{144}{x}\)\(\Leftrightarrow x^2=144\)\(\Leftrightarrow x=12\)( do \(x>0\))

\(\Rightarrow A\ge25+24=49\)

Vậy \(minA=49\)\(\Leftrightarrow x=12\)

\(A=\frac{\left(x+16\right)\left(x+9\right)}{x}=\frac{x^2+25x+144}{x}=x+25+\frac{144}{x}\)

Với x > 0, áp dụng bđt Cauchy ta có :

\(A=x+25+\frac{144}{x}\ge2\sqrt{x\cdot\frac{144}{x}}+25=24+25=49\)

Đẳng thức xảy ra khi x = 12

Vậy MinA = 49, đạt được khi x = 12

Mình cũng thắc mắc câu này ;-;

Ta có:

\(\left|x-\frac{3}{4}\right|+\left|x+\frac{9}{7}\right|=\left|\frac{3}{4}-x\right|+\left|x+\frac{9}{7}\right|\ge\left|\frac{3}{4}-x+x+\frac{9}{7}\right|=\frac{57}{28}\)

=> \(28\cdot\left(\left|x-\frac{3}{4}\right|+\left|x+\frac{9}{7}\right|\right)\ge57\left(\forall x\right)\)

Dấu "=" xảy ra khi: \(\left(\frac{3}{4}-x\right)\left(x+\frac{9}{7}\right)\ge0\Rightarrow-\frac{9}{7}\le x\le\frac{3}{4}\)

Vậy \(Min=28\Leftrightarrow-\frac{9}{7}\le x\le\frac{3}{4}\)

Đặt \(A=\left|x-\frac{3}{4}\right|+\left|x+\frac{9}{7}\right|\)

\(\Rightarrow A=\left|\frac{3}{4}-x\right|+\left|x+\frac{9}{7}\right|\ge\left|\frac{3}{4}-x+x+\frac{9}{7}\right|=\left|\frac{57}{28}\right|=\frac{57}{28}\)

Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow\left(\frac{3}{4}-x\right)\left(x+\frac{9}{7}\right)\ge0\)

TH1: \(\hept{\begin{cases}\frac{3}{4}-x\le0\\x+\frac{9}{7}\le0\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\frac{3}{4}\le x\\x\le\frac{-9}{7}\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x\ge\frac{3}{4}\\x\le\frac{-9}{7}\end{cases}}\)( vô lý )

TH2: \(\hept{\begin{cases}\frac{3}{4}-x\ge0\\x+\frac{9}{7}\ge0\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\frac{3}{4}\ge x\\x\ge\frac{-9}{7}\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x\le\frac{3}{4}\\x\ge\frac{-9}{7}\end{cases}}\Leftrightarrow\frac{-9}{7}\le x\le\frac{3}{4}\)

\(\Rightarrow28.\left(\left|x-\frac{3}{4}\right|+\left|x+\frac{9}{7}\right|\right)\ge28.\frac{57}{28}=57\)

Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow-\frac{9}{7}\le x\le\frac{3}{4}\)

Vậy GTNN của biểu thức đã cho là \(57\)\(\Leftrightarrow-\frac{9}{7}\le x\le\frac{3}{4}\)

\(P=\frac{x^2}{x+4}\left(\frac{x^2+16}{x}+8\right)+9\)

\(\Leftrightarrow\)\(P=\frac{x^2}{x+4}\left(\frac{x^2+16}{x}+\frac{8x}{8}\right)+9\)

\(\Leftrightarrow\)\(P=\frac{x^2}{x+4}.\left(\frac{\left(x+4\right)^2}{x}\right)+9\)(Không viết ngoặc vuông được nên để ngoặc tròn luôn, đừng ném đá, em không cần đá xây nhà)

\(\Leftrightarrow P=x\left(x+4\right)+9\)

\(\Leftrightarrow P=x^2+4x+9\)

\(\Leftrightarrow P=\left(x^2+4x+4\right)+5\)

\(\Leftrightarrow P=\left(x+2\right)^2+5\)

\(\Rightarrow Min_P=5\) tại \(x=-2\)

5, mới test casio, để giải tự luận sau