a) Ta có:  a<b

                =>a.n<b.n

               =>a.n+a.b< b.n +a.b

               =>a(b+n)<b(a+n)

               =><

Vậy nếu a<b thì a/b <a+n / b+n

  b) Ta có :  a>b

=>a.n>b.n

=>a.n+a.b>b.n+a.b

=>a(b+n)>b(a+n)

=>a/b>a+n/b+n

   Vậy a>b thì a/b> a+n/b+n

  c) Ta có : a=b

=>a.n=b.n

=>a.n+ a.b =b.n+a.b

=>a(b+n)=b(a+n)

=>a/b=a+n/b+n

  Vậy a= b thì a/b =a+n/b+n

a) (ab)ⁿ = ab.ab.ab.....ab (n thừa số ab) = (a.a.a.....a).(b.b.b....b) (n thừa số a ; n thừa số b) = aⁿ.bⁿ

Câu b bạn chứng minh tương tự.

Lời giải:

a) Xét hiệu \(\frac{a+n}{b+n}-\frac{a}{b}=\frac{(a+n).b-a(b+n)}{b(b+n)}=\frac{n(b-a)}{b(b+n)}\)

Nếu $b>a$ thì $\frac{a+n}{b+n}-\frac{a}{b}>0\Rightarrow \frac{a+n}{b+n}>\frac{a}{b}$

Nếu $b<a$ thì $\frac{a+n}{b+n}-\frac{a}{b}<0\Rightarrow \frac{a+n}{b+n}<\frac{a}{b}$

Nếu $b=a$ thì $\frac{a+n}{b+n}-\frac{a}{b}=0\Rightarrow \frac{a+n}{b+n}=\frac{a}{b}$

b) Rõ ràng $10^{11}-1< 10^{12}-1$. 

Đặt $10^{11}-1=a; 10^{12}-1=b; 11=n$ thì: $a< b$; $A=\frac{a}{b}$ và $B=\frac{10^{11}+10}{10^{12}+10}=\frac{a+n}{b+n}$

Áp dụng kết quả phần a:

$b>a\Rightarrow \frac{a+n}{b+n}>\frac{a}{b}$ hay $B>A$

Do \(\dfrac{a}{b}< 1\) nên a < b. Suy ra an < bn.

Ta có \(a\left(b+n\right)=ab+an< ab+bn=b\left(a+n\right)\Rightarrow\dfrac{a}{b}< \dfrac{a+n}{b+n}\)