Có: \(\hept{\begin{cases}\left(x-y\right)^2\ge0\\\left(y-z\right)^2\ge0\\\left(z-x\right)^2\ge0\end{cases}}\)\(\Rightarrow\left(x-y\right)^2+\left(y-z\right)^2+\left(z-x\right)^2\ge0\)

\(\Rightarrow x^2-2xy+y^2+y^2-2yz+z^2+z^2-2xz+x^2\ge0\)

\(\Rightarrow2x^2+2y^2+2z^2-2xy-2yz-2xz\ge0\)

\(\Rightarrow2\left(x^2+y^2+z^2-xy-yz-xz\right)\ge0\)

\(\Rightarrow x^2+y^2+z^2-xy-yz-xz\ge0\)

\(\Rightarrow x^2+y^2+z^2+2xy+2yz+2xz-3xy-3yz-3xz\ge0\)

\(\Rightarrow x^2+y^2+z^2+2xy+2yz+2xz\ge3xy+3yz+3xz\)

\(\Rightarrow\left(x+y+z\right)^2\ge3\left(xy+yz+xz\right)\)

\(\Rightarrow\frac{\left(x+y+z\right)^2}{3}\ge xy+yz+xz\)

\(\Rightarrow xy+yz+xz\le\frac{3^2}{3}=3\)

=> \(P_{min}=xy+yz+xz=3\Leftrightarrow x=y=z=1\) 

Vậy ...................

Cái này tìm max thì được chứ min sợ là không có

Bài của bạn Trà My cũng là max chứ không phải min đâu

Áp dụng BĐT Cauchy Schwarz ta có:

\(\left(x^2+y^2+z^2\right)\left(y^2+z^2+x^2\right)\ge\left(xy+yz+xz\right)^2\)

\(\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2\ge\left|xy+yz+xz\right|\ge xy+yz+xz\left(1\right)\)

Mặt khác:

\(\left(x+y+z\right)^2=x^2+y^2+z^2+2\left(xy+yz+xz\right)\)

\(\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2=9-2\left(xy+yz+xz\right)\)

Kết hợp với \(\left(1\right)\Rightarrow9-2\left(xy+yz+xz\right)\ge xy+yz+xz\)

\(\Leftrightarrow3\left(xy+yz+xz\right)\le9\Leftrightarrow xy+yz+xz\le3\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\frac{x}{y}=\frac{y}{z}=\frac{z}{x}\\x+y+z=3\end{cases}}\Leftrightarrow x=y=z=1\)

Vậy \(Max\) biểu thức là \(3\Leftrightarrow x=y=z=1\)

Với \(x,y,z\)ta có :

\(\left(x-y\right)^2+\left(y-z\right)^2+\left(z-x\right)^2>=0\)

\(\Leftrightarrow2x^2+2y^2+2z^2-2xy-2yz-2xz\ge=0\)

\(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx\ge=0\)

\(\left(y+x+z\right)^2\ge=3\left(x+y+z\right)\)

\(\frac{\left[\left(x+y+z\right)^2\right]}{3}\ge=xy+zx+yz\)

\(\Rightarrow xy+yz+zx\le=3\)

Dấu \(=\)xảy ra khi \(x=y=z=1\)

với mọi x, y, z ta có: 
(x-y)^2 +(y-z)^2+ (z-x)^2>=0 
<=>2x^2 +2y^2 + 2z^2 - 2xy -2yz - 2xz >=0 
<=>x^2 + y^2 +z^2 - xy -yz -zx >=0 
<=>(x+y+z)^2 >= 3(x+y+z) 
<=>[(x+y+z)^2]/3 >= xy+yz+ zx 
=>xy +yz + zx <=3 
dấu = xảy ra khi x=y=z =1

? cho a,b,c tìm x,y,z là seo?

chắc đề cho x+y+z=1

\(=>\sqrt{x+yz}=\sqrt{x\left(x+y+z\right)+yz}=\sqrt{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}\)

\(=>\dfrac{x}{x+\sqrt{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}}\le\dfrac{x}{x+\sqrt{\left(\sqrt{xz}+\sqrt{xy}\right)^2}}\)

\(=\dfrac{x}{x+\sqrt{xy}+\sqrt{xz}}=\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}}\)

làm tương tự với \(\dfrac{y}{y+\sqrt{y+xz}},\dfrac{z}{z+\sqrt{z+xy}}\)

\(=>A\le\dfrac{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}}=1\) dấu"=" xảy ra<=>x=y=z=`/3

với mọi x, y, z ta có: 
(x-y)^2 +(y-z)^2+ (z-x)^2>=0 
<=>2x^2 +2y^2 + 2z^2 - 2xy -2yz - 2xz >=0 
<=>x^2 + y^2 +z^2 - xy -yz -zx >=0 
<=>(x+y+z)^2 >= 3(x+y+z) 
<=>[(x+y+z)^2]/3 >= xy+yz+ zx 
=>xy +yz + zx <=3 
dấu = xảy ra khi x=y=z =1

ai tích mình tích lại nhưng phải lên điểm mình tích gấp đôi

bạn kia có chỗ sai nha. 

Khó thế, mới lớp 8, làm mãi ko ra