Gọi F là giao điểm của AD và BC, I là giao điểm của AH và NE. Áp dụng định lí Ceva với tam giác ABc và chú ý MC = MA, ta có:

\(1=\frac{NA}{NB}.\frac{FB}{FC}.\frac{MC}{MA}=\frac{NA}{NB}.\frac{FB}{FC}.1\)

Do đó \(\frac{AN}{BN}=\frac{CF}{BF}\) (1)

Theo định lí Thales đảo thì NF // AC

Từ (1) theo t/c tỉ lệ thức:

\(\frac{AN}{AB}=\frac{AN}{AN+BN}=\frac{CF}{CF+BF}=\frac{CF}{CB}\left(2\right)\)

Áp dụng định lí Menelaus cho các tam giác BEN và BEF, ta có:

\(\frac{IE}{IN}.\frac{AN}{AB}.\frac{HB}{HE}=1=\frac{DE}{DF}.\frac{CF}{CB}.\frac{HB}{HE}\left(3\right)\)

Từ (2) và (3) suy ra \(\frac{IE}{IN}=\frac{DE}{DF}\)

Do đó, theo định lí Thales đảo, NF // ID (4)

Từ (2) và (4) với chú ý AC vuông góc AN, suy ra ID vuông góc AN.

Kết hợp ND \(\perp\) AI => AD \(\perp\)NI.

Do vậy ^NEA = 90^o

mình cần lời  giải gấp

mình làm tắt nha

a,Tam giác ABC cân tại A => góc ABC= góc ACB

=> góc ABM = góc ACN

=> tam giác ABM = tam giác ACN (c.g.c)

=> AM=AN

=> tam giác AMN câc tại A

b,Tam giác AMN câc tại A => góc AMN = góc ANM

=> tam giác HMB = tam giác KNC (ch+gn)

=> BH=CK

c,Tam giác HBA = tam giác KCA (ch+cgv) => AH=AK

d,Ta có: tam giác HMB = tam giác KNC (phần c)

=> góc HBM = góc KCN

=> góc OBC = góc OCB (2 góc trên đối đỉnh vs OBC và OCB)

=> tam giác OBC cân tại O

e, BAC=60 độ

=> ABC = ACB = (180 độ - 60 độ)/2 = 60 độ

=> tam giác ABC đều => AB=AC=BC mà BC=BM=CN

=> AB=BM và AC=CN

=>tam giác ABM và ACN cân tại B và C

=>BAM=BMA=CAN=CNA=60 độ/2 = 30 độ

=>MAN=60 độ + 30 độ*2 = 120 độ

và HBM=KCN=60 độ

=>OBC=OCB=60 độ

=>BOC=60 độ

=> tam giác BOC đều

và AMN=ANM=30 độ , MAN=120 độ

a: Xét ΔABM vuông tại M và ΔACN vuông tại N có

AB=AC

\(\widehat{BAM}\) chung

Do đó: ΔABM=ΔACN

Suy ra: BM=CN

b: Ta có: ΔABM=ΔACN

nên \(\widehat{ABM}=\widehat{ACN}\)

c: Xét ΔNBC vuông tại N và ΔMCB vuông tại M có

BC chung

NC=MB

Do đó: ΔNBC=ΔMCB

Suy ra: \(\widehat{ICB}=\widehat{IBC}\)

hay ΔIBC cân tại I

d: Ta có: AB=AC

nên A nằm trên đường trung trực của BC(1)

Ta có: IB=IC

nên I nằm trên đường trung trực của BC(2)

Ta có: KB=KC

nên K nằm trên đường trung trực của BC(3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra A,K,I thẳng hàng

Hình các bạn tự vẽ nhé !

a)VÌ \(\Delta ABC\)cân tại \(A\)có \(BM;CN\)là đường trung tuyến

\(\Rightarrow AN=BN=AM=CM=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}AC\)

\(\Rightarrow\Delta ANM\)cân ( vì AN=AM )

Vì \(\Delta ANM;\Delta ABC\)cùng cân mà có \(\widehat{A}\)chung nên \(\widehat{ANM}=\widehat{AMN}=\widehat{ABC}=\widehat{ACB}\)(đpcm)

Vì \(\widehat{AMN};\widehat{ACB}\)là hai góc đồng vị mà \(\widehat{AMN}=\widehat{ACB}\)(chứng minh trên) nên MN song song với BC  (đpcm)

b) Vì G là giao điểm của BM và CN mà BM và CN là 2 đường trung tuyến nên G là trọng tâm của \(\Delta ABC\)

\(\Rightarrow AG\)là đường trung tuyến của \(\Delta ABC\)từ đỉnh A xuống cạnh BC

VÌ trong tam giác cân , đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh đối diện với cạnh đáy đồng thời là đường trung trực ứng với cạnh đáy

nên \(AG⊥BC\)

Theo (a) \(BC\)song song với \(MN\)mà \(AG⊥BC\)nên \(AG⊥MN\)(đpcm)

TK

a: Ta có: ΔABC cân tại A

mà AD là đường trung tuyến

nên AD là đường cao

b: Xét ΔABM vuông tại M và ΔACN vuông tại N có 

\(\widehat{BAM}\) chung

Do đó: ΔABM=ΔACN

Suy ra: AM=AN

Xét ΔBAC có AN/AB=AM/AC

nên MN//BC

a, Xét tam giác ABC cân tại A, D là trung điểm BC 

=> AD là đường trung tuyến 

=> AD đồng thời là đường cao 

=> AD vuông BC 

hay AD đồng thời là đường phân giác 

b, Vì BM ; CN ; AD là đường cao 

H là điểm giao của 3 đường cao 

hay H là trực tâm 

Xét tam giác ANH và tam giác AMH có : 

^NAH = ^MAH ( AD là phân giác ) 

AH _ chung 

Vậy tam giác ANH = tam giác AMH ( ch - gn ) 

=> AN = AM ( 2 cạnh tương ứng ) 

\(a,ABM=MBC=\frac{ABC}{2}\)(BM là p/g t/g ABC)

\(ACN=NCB=\frac{ACB}{2}\)(CN là p/g t/g ABC)

mà ABC= ACB(t/g ABC cân A)

\(\rightarrow ABM=ACN\)

Xét t/g ABM và t/g ACN

Có ^BAC chung

       AC= AB(t/g ABC cân A)

     ^ABM= ^ACN(cmt)

\(\rightarrow\)t/g ABM = t/g ACN(gcg)

Các bạn giải giúp câu d với!

bài quá dễ

đúng là thằng học ngu lơ ta lơ mơ