M' đối xứng M qua Ox

=>\(\left\{{}\begin{matrix}x_{M'}=-x_M=1\\y_{M'}=y_M=-2\end{matrix}\right.\)

N' đối xứng N qua Ox

=>\(\left\{{}\begin{matrix}x_{N'}=-x_N=2\\y_{N'}=y_N=-4\end{matrix}\right.\)

P' đối xứng P qua Ox

=>\(\left\{{}\begin{matrix}x_{P'}=-x_P=-2\\y_{P'}=y_P=-3\end{matrix}\right.\)

Q' đối xứng Q qua Ox

=>\(\left\{{}\begin{matrix}x_{Q'}=-x_Q=-3\\y_{Q'}=y_Q=-4,5\end{matrix}\right.\)

Gọi B, C lần lượt là hình chiếu của M lên Ox, Oy; D, E lần lượt là hình chiếu của N lên Ox, Oy

Ta có: OM = ON = 1

\(\widehat{MOC}=\dfrac{2\pi}{3}-\dfrac{\pi}{2}=\dfrac{\pi}{6}\\ \Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}sin\widehat{MOC}=\dfrac{1}{2}\Rightarrow MC=\dfrac{1}{2}\\cos\widehat{MOC}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\Rightarrow MB=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\end{matrix}\right.\)

Do điểm M có hoành độ nằm bên trái trục Ox nên tọa độ của điểm M là \(M\left(-\dfrac{1}{2};\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)\)

\(\widehat{NOD}=-\dfrac{\pi}{4}\\ \Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}sin\widehat{NOD}=-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\Rightarrow ND=-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\\cos\widehat{NOD}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\Rightarrow NE=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\end{matrix}\right.\)

Vậy tọa độ điểm N là \(N\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2};-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)\)

Giả sử tọa độ M(x;0). Khi đó \(\overrightarrow{MA}=\left(1-x;2\right);\overrightarrow{MB}=\left(4-x;3\right)\)

Theo giả thiết ta có \(\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB}=MA.MB.\cos45^0\)

\(\Leftrightarrow\left(1-x\right)\left(4-x\right)+6=\sqrt{\left(1-x\right)^2+4}.\sqrt{\left(4-x\right)^2+9}.\frac{\sqrt{2}}{2}\)

\(\Leftrightarrow x^2-5x+10=\sqrt{x^2-2x+5}.\sqrt{x^2-8x+25}.\frac{\sqrt{2}}{2}\)

\(\Leftrightarrow2\left(x^2-5x+10\right)^2=\left(x^2-5x+10\right)\left(x^2-8x+25\right)\) (do \(x^2-5x+10>0\))

\(\Leftrightarrow x^4-10x^3+44x^2-110x+75=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)\left(x-5\right)\left(x^2-4x+15\right)=0\)

\(\Leftrightarrow x=1;x=5\)

Vậy ta có 2 điểm cần tìm là M(1;0) hoặc M(5;0)