Từ giả thiết:

\(a^2=2\left(b^2+c^2\right)\ge\left(b+c\right)^2\Rightarrow\left(\dfrac{a}{b+c}\right)^2\ge1\Rightarrow\dfrac{a}{b+c}\ge1\)

\(P=\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b^2}{bc+ab}+\dfrac{c^2}{ac+bc}\ge\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{\left(b+c\right)^2}{a\left(b+c\right)+2bc}\ge\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{\left(b+c\right)^2}{a\left(b+c\right)+\dfrac{1}{2}\left(b+c\right)^2}\)

\(P\ge\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{1}{\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{1}{2}}\)

Đặt \(\dfrac{a}{b+c}=x\ge1\)

\(\Rightarrow P\ge x+\dfrac{1}{x+\dfrac{1}{2}}=\dfrac{4}{9}\left(x+\dfrac{1}{2}\right)+\dfrac{1}{x+\dfrac{1}{2}}+\dfrac{5}{9}x-\dfrac{2}{9}\)

\(P\ge2\sqrt{\dfrac{4}{9}\left(x+\dfrac{1}{2}\right).\dfrac{1}{\left(x+\dfrac{1}{2}\right)}}+\dfrac{5}{9}.1-\dfrac{2}{9}=\dfrac{5}{3}\)

\(P_{min}=\dfrac{5}{3}\) khi \(x=1\) hay \(a=2b=2c\)

Ta có : \(x+y\left(2+3x\right)=3\Leftrightarrow y=\frac{3-x}{3x+2}\)  ( vì x > 0 ) 

Khi đó : \(x+y=x+\frac{3-x}{3x+2}=\frac{3x^2+x+3}{3x+2}=A\) 

Chứng minh được :  \(A\ge\frac{-3+2\sqrt{11}}{3}\) => ... 

1) \(\left\{{}\begin{matrix}a^3+b^3+c^3=3abc\\a+b+c\ne0\end{matrix}\right.\)  \(\left(a;b;c\in R\right)\)

Ta có :

\(a^3+b^3+c^3\ge3abc\) (Bất đẳng thức Cauchy)

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(a=b=c=1\left(a^3+b^3+c^3=3abc\right)\)

Thay \(a=b=c\) vào \(P=\dfrac{a^2+2b^2+3c^2}{3a^2+2b^2+c^2}\) ta được

\(\Leftrightarrow P=\dfrac{6a^2}{6a^2}=1\)

\(3^x=y^2+2y\left(x;y>0\right)\)

\(\Leftrightarrow3^x+1=y^2+2y+1\)

\(\Leftrightarrow3^x+1=\left(y+1\right)^2\left(1\right)\)

- Với \(\left\{{}\begin{matrix}x=0\\y=0\end{matrix}\right.\)

\(pt\left(1\right)\Leftrightarrow3^0+1=\left(0+1\right)^2\Leftrightarrow2=1\left(vô.lý\right)\)

- Với \(\left\{{}\begin{matrix}x=1\\y=1\end{matrix}\right.\)  

\(pt\left(1\right)\Leftrightarrow3^1+1=\left(1+1\right)^2=4\left(luôn.luôn.đúng\right)\)

- Với \(x>1;y>1\)

\(\left(y+1\right)^2\) là 1 số chính phương

\(3^x+1=\overline{.....1}+1=\overline{.....2}\) không phải là số chính phương

\(\Rightarrow\left(1\right)\) không thỏa với \(x>1;y>1\)

Vậy với \(\left\{{}\begin{matrix}x=1\\y=1\end{matrix}\right.\) thỏa mãn đề bài

Bài 1: 3x - 17 = x + 3  => 3x - x = 17 + 3  => 2x = 20  => x = 10

Bài 2:

a) x \(\in\){ - 7 ; -6 ; -5 ; -4 ;-3 ; -2 ; -1 ; 0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7 }

Tổng các số nguyên thỏa mãn là: 

 (- 7) + (-6) + (-5) + (-4) + (-3) + (-2) + (-1) + 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 = (-7 + 7) + (-6 + 6) + (-5 + 5) + (-4 + 4) +(-3 + 3) + (-2 + 2)+ (-1 + 1) + 0 = 0

b)   x \(\in\){ -6 ; -5 ; -4 ;-3 ; -2 ; -1 ; 0 ; 1 ; 2 ; 3 }

Tổng các số nguyên thỏa mãn là: 

 (-6) + (-5) + (-4) + (-3) + (-2) + (-1) + 0 + 1 + 2 + 3 = -6 - 5 - 4 + (-3 + 3) + (-2 + 2)+ (-1 + 1) + 0 = -15

c) x \(\in\){ - 20 ; -19 ; -18 ;......; -4 ;-3 ; -2 ; -1 ; 0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 ;...; 18 ; 19 ; 20 ; 21 }

Tổng các số nguyên thỏa mãn là: 

(-20) + (-19) + (-18) + (-17) + ....+ (-4) + (-3) + (-2) + (-1) + 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + ..... + 18 + 19 + 20 + 21 

= (-20 + 20) + (-19 + 19) + (-18 + 18) + (-17 + 17)+ ... + (-4 + 4) +(-3 + 3) + (-2 + 2)+ (-1 + 1) + 0 + 21 = 21 

a) ko có a, b thỏa mãn

b) Giá trị lớn nhất của A = \(\frac{7}{6}\)

c) 16

d)  x = \(\frac{14}{3}\)

e) x=-1

g) n= 7

h) 

j) x=1

k) n=11