cho tam giác ABC gọi K là điểm xác định bởi ( 2vectoKA+3vectoKB+vectoKC=vecto0) .gọi M,N là hai điểm phân biệt thõa mãn ( vectoMN= 2vectoMA+3vectoMB+vectoMC) chứng minh M,N luôn đi qua một điểm có định
cho tam giác ABC gọi K là điểm xác định bởi ( 2vectoKA+3vectoKB+vectoKC=vecto0) .gọi M,N là hai điểm phân biệt thõa mãn ( vectoMN= 2vectoMA+3vectoMB+vectoMC) chứng minh M,N luôn đi qua một điểm có định
Câu 1: cho tam ABC. Có bao nhiêu điểm M thỏa mãn | vecto MA+vectoMB+vectoMC| = 3
a.1
b.2
c.3
d. vô số
Câu 2: cho tam giác ABC đều cạnh a. biết rằng tập hợp các điểm M thỏa mãn đẳng thức |2vectoMA+3vectoMB+4vectoMC|=|vectoMB-vectoMA| là đường tròn cố định có bán kính R. tính bán kính R theo A?
Câu 3: Cho 2 điểm A.B phân biệt và cố định, với I là trung điểm của AB. Tập hợp các điểm M thỏa mãn đẳng thức |2vectoMA+vectoMB|=|vectoMA+2vectoMB| là:
a. đường trung trực của đoạn thẳng AB
b. đường tròn đường kính AB
c. đường trung trực của đoạn thẳng IA
d. đường tròn tâm A, bán kính AB
Cho tam giác ABC. M là điểm di động trong tam giác ABC. Vẽ các hình bình hành MADB, MAEC. Gọi N là giao điểm của BE và CD. Chứng minh rằng đường thẳng MN luôn đi qua một điểm cố định.
Gọi J là trung điểm cạnh BC, MN cắt AJ tại I.
Vì MADB và MAEC là các hình bình hành nên \(BD=MA=CE,BD||MA||CE\)
Suy ra BDEC là hình bình hành, suy ra N là trung điểm BE. Do đó NJ là đường trung bình \(\Delta BEC\)
Suy ra \(NJ||CE||AM,NJ=\frac{1}{2}CE=\frac{1}{2}AM\)
Theo định lí Thales \(\frac{IJ}{IA}=\frac{NJ}{MA}=\frac{1}{2}\). Vì AJ là trung tuyến của \(\Delta ABC\) nên I là trọng tâm \(\Delta ABC\)
Vậy MN đi qua I cố định.
ho tam giác ABC có ba góc nhọn (AB < AC), đường cao AH. Gọi M, N, P là trung điểm của các cạnh AB, AC, BC, MN cắt AC tại I. a) Chứng minh I là trung điểm của AH b) Lấy điểm Q đối xứng với P qua N. Chứng minh tứ giác ABPQ là hình bình hành. c) Xác định dạng của tứ giác MHPN d) Gọi K là trung điểm của MN, O là giao điểm của CK và QP, F là giao điểm của MN và QC. Chứng minh B, O, F thẳng hàng
a) Sửa đề: MN cắt AH tại I
Xét ΔABC có
M là trung điểm của AB(gt)
N là trung điểm của AC(gt)
Do đó: MN là đường trung bình của ΔABC(Định nghĩa đường trung bình của tam giác)
⇒MN//BC và \(MN=\dfrac{BC}{2}\)(Định lí 2 về đường trung bình của tam giác)
Ta có: MN//BC(cmt)
mà I∈MN(gt)
và H∈BC(gt)
nên IN//HC
Xét ΔAHC có
N là trung điểm của AC(gt)
IN//HC(cmt)
Do đó: I là trung điểm của AH(Định lí 1 về đường trung bình của tam giác)
b)
Ta có: Q đối xứng với P qua N(gt)
nên N là trung điểm của QP
Xét ΔABC có
P là trung điểm của BC(gt)
N là trung điểm của AC(gt)
Do đó: PN là đường trung bình của ΔABC(Định nghĩa đường trung bình của tam giác)
⇒PN//AB và \(PN=\dfrac{AB}{2}\)(Định lí 2 về đường trung bình của tam giác)
mà Q∈PN và \(PN=\dfrac{PQ}{2}\)(N là trung điểm của PQ)
nên AB//PQ và AB=PQ
Xét tứ giác ABPQ có
AB//PQ(cmt)
AB=PQ(cmt)
Do đó: ABPQ là hình bình hành(Dấu hiệu nhận biết hình bình hành)
c) Ta có: MN//BC(cmt)
mà H∈BC(gt)
và P∈BC(P là trung điểm của BC)
nên MN//HP
Xét ΔABC có
M là trung điểm của AB(gt)
P là trung điểm của BC(gt)
Do đó: MP là đường trung bình của ΔABC(Định nghĩa đường trung bình của tam giác)
⇒MP//AC và \(MP=\dfrac{AC}{2}\)(Định lí 2 về đường trung bình của tam giác)(1)
Ta có: ΔAHC vuông tại H(AH⊥BC)
mà HN là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền AC(N là trung điểm của AC)
nên \(HN=\dfrac{AC}{2}\)(Định lí 1 về áp dụng hình chữ nhật vào tam giác vuông)(2)
Từ (1) và (2) suy ra MP=HN
Xét tứ giác MNPH có MN//HP(cmt)
nên MNPH là hình thang có hai đáy là MN và HP(Định nghĩa hình thang)
Hình thang MNPH(MN//HP) có MP=HN(cmt)
nên MNPH là hình thang cân(Dấu hiệu nhận biết hình thang cân)
Cho tam giác ABC. Gọi E,F lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng AC và AB. M là điểm tùy ý trên cạnh BC. K là điểm đối xứng với M qua E.
1. Chứng minh tứ giác AMCK là hình bình hành.
2. Chứng minh EF đi qua trung điểm Q của AM.
3. Gọi I là điểm đối xứng với Q qua M. Chứng minh khi M di chuyển thì I luôn di chuyển trên một đường thẳng cố định
Cho tam giác ABC có AB < AC. Trên các cạnh AB và AC lần lượt lấy các điểm M và N thay đổi sao cho BM = CN. Gọi K là trung điểm MC, kẻ đường thẳng đi qua trung điểm J của Bc và trung điểm I của MN cắt các đường thẳng AB và AC lần lượt ở D và E
a) CMR : Tam giác IJK và tam giác ADE cân
b) Chứng minh trung điểm I của MN luôn nằm trên một tia cố định
c) Chứng minh rằng trung trực của MN luôn đi qua một điểm cố định
a/ Xét tam giác MNC có:
I trung điểm MN
K trung điểm MC
Vậy IK là đường trung bình của tam giác MNC
=> IK = 1/2 NC (1)
Mặt khác, xét tam giác MCB có:
K trung điểm MC
J trung điểm BC
Vậy KJ là đường trung bình tam giác MCB
=> KJ =1/2 BM (2)
mà BM = CN (gt) (3)
Từ (1), (2) và (3) => IK = KJ
=> Tam giác IKJ cân tại K
Lại có IK // NC (tính chất đường trung bình trong tam giác)
=> góc KIJ = góc CEJ (đồng vị) (4)
KJ // BM (tính chất đường trung bình trong tam giác)
=> góc KJI = ADJ (so le trong) (5)
mà góc KIJ = góc KJI (tam giác IKJ cân tại K) (6)
Từ (4), (5), (6) => góc ADE = góc AED
=> Tam giác ADE cân tại A (đpcm)
b/ Ko biết làm ^^
c/ Ko biết làm ^^
Cho tam giác ABC nội tiếp (O), các đường cao BE,CF cắt (O) tại M,N. Gọi K,L thứ tự là tâm ngoại tiếp tam giác BON, COM. Hai đoạn BL,CK cắt nhau ở R. Chứng minh AR luôn đi qua điểm cố định khi A thay đổi trên cung lớn BC ?
Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Điểm M chuyển động trên cạnh BC ( M khác B, C ). Gọi H, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của M lên AB , AC. Vẽ các đường tròn ( H; HM) và (K; KM).
a) Chứng minh rằng hai đường tròn (H), (K) luôn cắt nhau
b) Gọi N la giao điểm thứ hai của hai đường tròn (H) và (K) . Chứng minh rằng MN luôn đi qua 1 điểm cố định
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP TỈNH PHÚ YÊN NĂM 2018-2019
Tự vẽ hình nha,
Câu a, Ta có : tứ giác AHMK là hình chữ nhật nên MK=AH và HM=AK
Mà HM, MK lần lượt là bán kính của (H) và (M)
Xét tam giác HAK có : theo bđt tam giác : HA-HB<HK<HA+HK
Hay MK-MH<HK<MH+MK => hai đường tròn luôn cắt nhau ( giả sử MK>MH)
Ta có \(\widehat{NMH}=\widehat{NCB};\widehat{NMK}=\widehat{NBC}\)
Do AKMH là hình chữ nhật nên
\(\widehat{NMH}+\widehat{NMK}=90\Rightarrow\widehat{NCB}+\widehat{NBC}=90\)
\(\Rightarrow\widehat{BNC}=90\). Vẽ hình vuông ABEC
Ta có A, N, B, E, C cùng thuộc đường tròn đường kính BC cố định
Ta lại có \(\widehat{NEB}=\widehat{NCB}\)mà \(\widehat{NCB}=\widehat{NMH}\)
\(\widehat{NEB}=\widehat{NMH}\), do \(MH//EB\)nên ba điểm N, M, E thẳng hàng. Vậy MN luôn đi qua điểm E cố định
cho tam giac ABC. xác định điẻm D thỏa mãn vectoDB - 3vectoDC=0. cho M là điểm bất kì và vectoMN=vecto MB - 3vectoMC. chứng minh đường thẳng MN đi qua điểm cố định