ho tam giác ABC có ba góc nhọn (AB < AC), đường cao AH. Gọi M, N, P là trung điểm của các cạnh AB, AC, BC, MN cắt AC tại I. a) Chứng minh I là trung điểm của AH b) Lấy điểm Q đối xứng với P qua N. Chứng minh tứ giác ABPQ là hình bình hành. c) Xác định dạng của tứ giác MHPN d) Gọi K là trung điểm của MN, O là giao điểm của CK và QP, F là giao điểm của MN và QC. Chứng minh B, O, F thẳng hàng
a) Sửa đề: MN cắt AH tại I
Xét ΔABC có
M là trung điểm của AB(gt)
N là trung điểm của AC(gt)
Do đó: MN là đường trung bình của ΔABC(Định nghĩa đường trung bình của tam giác)
⇒MN//BC và \(MN=\dfrac{BC}{2}\)(Định lí 2 về đường trung bình của tam giác)
Ta có: MN//BC(cmt)
mà I∈MN(gt)
và H∈BC(gt)
nên IN//HC
Xét ΔAHC có
N là trung điểm của AC(gt)
IN//HC(cmt)
Do đó: I là trung điểm của AH(Định lí 1 về đường trung bình của tam giác)
b)
Ta có: Q đối xứng với P qua N(gt)
nên N là trung điểm của QP
Xét ΔABC có
P là trung điểm của BC(gt)
N là trung điểm của AC(gt)
Do đó: PN là đường trung bình của ΔABC(Định nghĩa đường trung bình của tam giác)
⇒PN//AB và \(PN=\dfrac{AB}{2}\)(Định lí 2 về đường trung bình của tam giác)
mà Q∈PN và \(PN=\dfrac{PQ}{2}\)(N là trung điểm của PQ)
nên AB//PQ và AB=PQ
Xét tứ giác ABPQ có
AB//PQ(cmt)
AB=PQ(cmt)
Do đó: ABPQ là hình bình hành(Dấu hiệu nhận biết hình bình hành)
c) Ta có: MN//BC(cmt)
mà H∈BC(gt)
và P∈BC(P là trung điểm của BC)
nên MN//HP
Xét ΔABC có
M là trung điểm của AB(gt)
P là trung điểm của BC(gt)
Do đó: MP là đường trung bình của ΔABC(Định nghĩa đường trung bình của tam giác)
⇒MP//AC và \(MP=\dfrac{AC}{2}\)(Định lí 2 về đường trung bình của tam giác)(1)
Ta có: ΔAHC vuông tại H(AH⊥BC)
mà HN là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền AC(N là trung điểm của AC)
nên \(HN=\dfrac{AC}{2}\)(Định lí 1 về áp dụng hình chữ nhật vào tam giác vuông)(2)
Từ (1) và (2) suy ra MP=HN
Xét tứ giác MNPH có MN//HP(cmt)
nên MNPH là hình thang có hai đáy là MN và HP(Định nghĩa hình thang)
Hình thang MNPH(MN//HP) có MP=HN(cmt)
nên MNPH là hình thang cân(Dấu hiệu nhận biết hình thang cân)
