\(x^2=y\left(y+1\right)\left(y+2\right)\left(y+3\right)\)

\(\Leftrightarrow x^2=\left(y^2+3y\right)\left(y^2+3y+2\right)\)

Đặt \(y^2+3y=t\) ta có:

\(VP=t\left(t+2\right)=t^2+2t\)

Suy ra \(x^2=t^2+2t>\left(t+2\right)^2\left(1\right)\)

Lại có: \(t^2+2t< t^2\Rightarrow x^2< t^2\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) suy ra \(\left(t+2\right)^2< x^2< t^2\Rightarrow x^2=\left(t+1\right)^2\)

\(\Rightarrow t^2+2t=\left(t+1\right)^2\left(=x^2\right)\)

Suy ra \(t^2+2t=t^2+2t+1\)(vô lí)

Vậy

\(a,\) Ta có \(y=\frac{5x+9}{x+3}\)

Để \(y\) nhận giá trị nguyên thì : \(5x+9⋮x+3\)

\(\Rightarrow5\left(x+3\right)+9-15⋮x+3\)

\(\Rightarrow5\left(x+3\right)-6⋮x+3\)

\(\Rightarrow-6⋮x+3\)

\(\Rightarrow6⋮x+3\)

\(\Rightarrow x+3\inƯ_{\left(6\right)}\)

\(\Rightarrow x+3=\left(-6,-3,-2,-1,1,2,3,6\right)\) Máy tớ ko viết được ngoặc khép thông cảm nha

\(\Rightarrow x=\left(-9,-6,-5,-4,-2,-1,0,3\right)\)

Ta có : y = \(\dfrac{5x+9}{x+3}\)

Để y nhận giá trị nguyên thì: 5x + 9 \(⋮\) x + 3

=> 5. ( x + 3 ) + 9 - 15 \(⋮\) x + 3

=> 5. ( x + 3 ) - 6 \(⋮\) x + 3

=> 6 \(⋮\) x + 3 ( vì 5. ( x + 3 ) \(⋮\) x + 3 )

=> x + 3 \(\inƯ\left(6\right)=\left\{-6;-3;-2;-1;1;2;3;6\right\}\)

=> \(x\in\left\{-9;-6;-5;-4;-2;-1;0;3\right\}\)

Vậy : \(x\in\left\{-9;-6;-5;-4;-2;-1;0;3\right\}\) thì y nhận giá trị nguyên.

\(y=\frac{5x+9}{x+3}=\frac{5x+15-6}{x+3}=\frac{5\left(x+3\right)-6}{x+3}=5-\frac{6}{x+3}\)

y nguyên khi \(\frac{6}{x+3}\) nguyên <=> 6 chia hết cho x+3

<=>\(x+3\inƯ\left(6\right)=\){-6;-3;-2;-1;1;2;3;6}

<=> \(x\in\){-9;-6;-5;-4;-2;-1;0;3}

 -2/x=y/3 

=> -2.3 = xy

xy= -6 

Mà x>0>y => x là số nguyên âm còn y là số nguyên dương

Lập bảng ( cái này bn tự lâp)

=> Các cặp số nguyên x,y là: x=-2,y=3  ; x= -3,y=2; x=-1,y=6 ; x=-6,y= 1   

Do x-y = 4 => x= 4+y

thjays x=4+y vào x-3/y-2=3/2, có:

x-3/y-2=3/2 = 4+y-3/y-2 = 3/2 = y+1/y-2=3/2

=> 2(y+1)= 3(y-2)

2y+2 = 3y-6

3y-2y = 2+6

y=8

thay y= 8 vào x=4+y, có:

x= 4+ 8 = 12

vạy x=12; y=8

\(x^2+y^2-xy=x+y+2\)

\(\Leftrightarrow2x^2+2y^2-2xy-2x-2y-4=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2+\left(x-1\right)^2+\left(y-1\right)^2=6\)

Vì \(\left(x-y\right)^2+\left(y-1\right)^2\ge0\forall x;y\)

\(\Rightarrow\left(x-1\right)^2\le6\forall x\)

\(\Rightarrow-\sqrt{6}\le x-1\le\sqrt{6}\)

\(\Leftrightarrow x\in\left\{-1;0;1;2;3\right\}\)

Từ đó thay vào tìm các giá trị tương ứng của y.