Ta có : \(S_{ABC}=S_{DAB}+S_{DAC}\)

\(\frac{1}{2}AB.AC=\frac{1}{2}AB.AD.sin45^o+\frac{1}{2}AC.AD.sin45^o=\frac{1}{2}AD.sin45^o\left(AB+AC\right)\)

\(\Leftrightarrow\frac{AB+AC}{AB.AC}=\frac{\sqrt{2}}{AD}\Leftrightarrow\frac{\sqrt{2}}{AD}=\frac{1}{AB}+\frac{1}{AC}\)

a/ \(S_{ABD}=\frac{1}{2}AB.AD.sin\widehat{BAD}=AB.AD.\frac{\sqrt{2}}{4}\)

\(S_{ACD}=\frac{1}{2}AC.AD.sin\widehat{CAD}=AC.AD.\frac{\sqrt{2}}{4}\)

\(S_{ABC}=\frac{1}{2}AB.AC\)

Suy ra : \(S_{ABC}=S_{ABD}+S_{ACD}\Leftrightarrow\frac{1}{2}AB.AC=\frac{\sqrt{2}}{4}AD.\left(AB+AC\right)\Rightarrow\frac{1}{AB}+\frac{1}{AC}=\frac{\sqrt{2}}{AD}\)

b/ Tương tự 

Ta có : $S_{ABC}=S_{DAB}+S_{DAC}$

$\frac{1}{2}AB.AC=\frac{1}{2}AB.AD.sin{45}^o+\frac{1}{2}AC.AD.sin{45}^o=\frac{1}{2}AD.sin{45}^o\left(AB+AC\right)$

$\iff \frac{AB+AC}{AB.AC}=\frac{\sqrt{2}}{AD}\iff \frac{\sqrt{2}}{AD}=\frac{1}{AB}+\frac{1}{AC}$

Cho tam giác ABC vuông tại A,phân giác AD

a,CM √2AD =1AB +1AC 

b, Gọi I là giao điểm các đường phân giác của  tam giác ABC, biết IB=√5,IC=√10. Tính diện tích tam giác ABC

a) Đặt AB = c; AC = b; AD = d. 
Áp dụng công thức tính diện tích tam giác bằng ½ tích hai cạnh nhân sin góc xen giữa ta có: 
S ABD = ½.AB.AD.sin BAD = ½.cd.sin 45º = ½cd.1/√2 
Tương tự: S ACD = ½bd.1/√2 
=> S ABC = S ABD + S ACD = ½cd.1/√2 + ½bd.1/√2 = ½d(b + c)/√2 
mà S ABC = ½bc 
=> ½d(b + c)/√2 = ½bc 
=> (b + c)/bc = √2/d 
<=> 1/b + 1/c = √2/d 

b,Kẻ CH ⊥ BI và CH cắt BA tại K. Tam giác BCK có BH vừa là phân giác vừa là đường cao Tam giác BCK cân tại B => BH là đường trung tuyến => CH = KH. và KC = 2HC. 

Đặt BC = x Ta có: AD = BK - AB = BC - AB = x - AB
Gọi giao điểm của AC và BH là E. 
Xét tam giác AEB và tam giác HEC có góc EAB = góc EHC = 90độ và góc AEB = góc HEC (đối đỉnh) 
tam giác AEB ~ tam giác HEC(g.g) 
Góc HCE = góc ABE. 
Góc HCE = góc ABC/2 (1) 
Mà Góc ECI = gócACB/2 (2) 
Từ (1) và (2) Góc ICH = Góc HCE + Góc ECI = (gócABC + góc ACB)/2 = 90độ/2 = 45độ. 
Xét tam giác HIC có góc IHC = 90độ và Góc ICH = 45 độ (góc còn lại chắc chắn = 45 độ) 
tam giác HIC vuông cân tại H => HI = HC. 
Áp dụng đinh lý Py-ta-go cho tam giác này ta được: 2HI² = IC² 
√2.IH = IC hay CH = IC/√2. 
CH =HI=√10 /√2

Suy ra BH=HI+IB=√10 /√2+√5

=>BC=√((√10 /√2+√5)²+(√10 /√2)²)

 KC = 2CH = 2.√10/√2

Xét tam giác: AKC có góc KAC = 90độ và Áp dụng định lý Py-ta-go ta có: KC² = AK² + AC² 
AC² = KC² - AK² hay AC² = (2.√10/√2)² - (x - AB)² (3) 

Tương tự đối với tam giác ABC ta có: AC² = BC² - AB² AC² = x² - AB² (4) 

Từ (3) và (4) suy ra (2.√10/√2)² - (x - AB)² = x² - AB² 

20 - (x² - 2ABx +AB²) = x² - AB²

=>10=x(x-AB)

sau đó tính AB rồi tính AC And S ABC

Đặt AB = a  ; AC = b ;  AD = c . Kẻ DE vuông góc AC ( \(E\in AB;F\in AC\) )
Ta có tứ giác AFDE là hình chữ nhật do \(\widehat{A}=\widehat{E}=\widehat{F}=90^o\) , AD phân giác trong của \(\widehat{EAF}\) nên \(\widehat{AFDE}\) là hình vuông . Suy ra 

\(DE=DF=\frac{AD\sqrt{2}}{2}=\frac{C\sqrt{2}}{2}\) . Ta có :

\(S_{DAB}+S_{DAC}=S_{ABC}\)

\(\Leftrightarrow\frac{1}{2}AB.DE+\frac{1}{2}DF.AC=\frac{1}{2}AC.AB\)

\(\Leftrightarrow\frac{c\sqrt{2}}{2}a+\frac{c\sqrt{2}}{2}b=ab\)

\(\Leftrightarrow\frac{\sqrt{2}}{c}=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\) . Hay \(\frac{\sqrt{2}}{AD}=\frac{1}{AB}+\frac{1}{AC}\)

Chúc bạn học tốt !!!