Vậy .....................

Vậy ..........................

Ta có:

\(M=\frac{8x^2+6xy}{x^2+y^2}\)

\(=\frac{9x^2+6xy+y^2-\left(x^2+y^2\right)}{x^2+y^2}\)

\(=\frac{\left(3x+y\right)^2}{x^2+y^2}-1\)

\(\ge-1\)

Dấu bằng xảy ra khi 3x=-y

Bài 1: 

a) Ta có: \(A=-x^2-4x-2\)

\(=-\left(x^2+4x+2\right)\)

\(=-\left(x^2+4x+4-2\right)\)

\(=-\left(x+2\right)^2+2\le2\forall x\)

Dấu '=' xảy ra khi x=-2

b) Ta có: \(B=-2x^2-3x+5\)

\(=-2\left(x^2+\dfrac{3}{2}x-\dfrac{5}{2}\right)\)

\(=-2\left(x^2+2\cdot x\cdot\dfrac{3}{4}+\dfrac{9}{16}-\dfrac{49}{16}\right)\)

\(=-2\left(x+\dfrac{3}{4}\right)^2+\dfrac{49}{8}\le\dfrac{49}{8}\forall x\)

Dấu '=' xảy ra khi \(x=-\dfrac{3}{4}\)

c) Ta có: \(C=\left(2-x\right)\left(x+4\right)\)

\(=2x+8-x^2-4x\)

\(=-x^2-2x+8\)

\(=-\left(x^2+2x-8\right)\)

\(=-\left(x^2+2x+1-9\right)\)

\(=-\left(x+1\right)^2+9\le9\forall x\)

Dấu '=' xảy ra khi x=-1

Bài 2: 
a) Ta có: \(=25x^2-20x+7\)

\(=\left(5x\right)^2-2\cdot5x\cdot2+4+3\)

\(=\left(5x-2\right)^2+3>0\forall x\)

b) Ta có: \(B=9x^2-6xy+2y^2+1\)

\(=9x^2-6xy+y^2+y^2+1\)

\(=\left(3x-y\right)^2+y^2+1>0\forall x,y\)

c) Ta có: \(E=x^2-2x+y^2-4y+6\)

\(=x^2-2x+1+y^2-4y+4+1\)

\(=\left(x-1\right)^2+\left(y-2\right)^2+1>0\forall x,y\)

Cả tử và mẫu đồng bậc:)) Em thử nha, ko chắc..

Với y = 0 thì x khác 0 và \(P=\frac{8x^2}{x^2}=8\)

Với y khác 0, chia cả tử và mẫu của P cho y². Ta có:

\(P=\frac{8\left(\frac{x}{y}\right)^2+6.\frac{x}{y}}{\left(\frac{x}{y}\right)^2+1}\). Đặt \(\frac{x}{y}=t\). 

Thế thì: \(P=\frac{8t^2+6t}{t^2+1}\)

Bí.

biểu thức đã cho (=) (8-P)x² + 6yx -Py²=0

tìm denta ra thì đc như sau: y²(-P²+8P+9) >=0  =) -P²+8P+9 >=0 

phần còn lại bấm máy tính ra kết quả là   -1=<P=<9

Min=-1  và Max=9 

\(A=6xy\left(xy-y^2\right)-8x^2\left(x-y\right)^2+5y\left(x^2-xy\right)\)

\(=6xy^2\left(x-y\right)-8x^2\left(x-y\right)\left(x-y\right)+5xy\left(x-y\right)\)

\(=x\left(x-y\right)\left(6y^2-8x\left(x-y\right)+5y\right)\)

\(=x\left(x-y\right)\left(6y^2-8x^2+8xy+5y\right)\)

\(=x\left(x-y\right)\left[2\left(3y+2x\right)\left(y-2x\right)+16xy+5y\right]\)

Thay x=1/2; y =2 ta được

\(A=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2}-2\right)\left[0+16\cdot\frac{1}{2}\cdot2+5\cdot2\right]=-\frac{1}{2}\cdot\frac{3}{2}\cdot26=-\frac{39}{2}\).

6xy ( xy - y² ) - 8x² ( x - y )² + 5y ( x² - xy ) 

= 6x²y² - 6xy³ - 8x³ + 8x²y + 5yx² - 5xy²

= xy ( 6xy - 6y² + 8x + 5x - 5y ) - 8x³

Thay x= \(\frac{1}{2}\)     ; y = 2

= 6 - 6.4 + 8. \(\frac{1}{2}\)      + 5. \(\frac{1}{2}\)       -  5.2 - 8.8

=> 6 - 24 + 4 + 2,5 - 10 - 64

= - 85,5

\(6xy\left(xy-ỳ^2\right)-8x^2\left(x-y\right)^2+5y\left(x^2-xy\right)\)

\(=6x^2y^2-6xy^3-8x^2\cdot\left(x^2-y^2\right)+5x^2y-5xy^2\)

\(=6x^2y^2-6xy^3-8x^4+8x^2y^2+5x^2y-5xy^2\)

\(=-8x^4+14x^2y^2+5x^2y-6xy^3-5xy^2\)

 Thay \(x=\frac{1}{2};y=2\) vào đa thức \(-8x^4+14x^2y^2+5x^2y-6xy^3-5xy^2\)

\(-8\left(\frac{1}{2}\right)^4+14\left(\frac{1}{2}\right)^2\cdot2^2+5\left(\frac{1}{2}\right)^2\cdot2-6\cdot\frac{1}{2}\cdot2^3-5\cdot\frac{1}{2}\cdot2^2\)

\(=-\frac{1}{2}+14+\frac{5}{2}-24-10\)

\(=-18\)

\(A=\frac{1}{\left(x-1\right)\left(x+1\right)}+\frac{1}{\left(x+1\right)\left(x+3\right)}+\frac{1}{\left(x+3\right)\left(x+5\right)}\)

\(2A=\frac{1}{x-1}-\frac{1}{x+1}+\frac{1}{x+1}-\frac{1}{x+3}+\frac{1}{x+3}-\frac{1}{x+5}=\frac{1}{x-1}-\frac{1}{x+5}\)

\(2A=\frac{x+5-x+1}{\left(x-1\right)\left(x+5\right)}=\frac{6}{x^2+4x-5}\Leftrightarrow A=\frac{3}{\left(x+2\right)^2-9}\le\frac{3}{-9}=-3\)

Max A = -3 khi x =-2 (TM)