4S=1.2.3.4+2.3.4.4+3.4.5.4+...+k(k+1)(k+2).4=

=1.2.3.4+2.3.4(5-1)+3.4.5.(6-2)+...+k(k+1)(k+2)[(k+3)-(k-1)]=

=1.2.3.4-1.2.3.4+2.3.4.5-2.3.4.5+3.4.5.6-...-(k-1)k(k+1)(k+2)+k(k+1)(k+2)(k+3)=

=k(k+1)(k+2)(k+3)=k(k+3)(k+1)(k+2)=

=(k²+3k)(k²+3k+2)=(k²+3k)²+2(k²+3k)

=> 4S+1=(k²+3k)²+2(k²+3k)+1=[(k²+3k)+1]²

\(4S=1\cdot2\cdot3\cdot4+2\cdot3\cdot4\cdot4+3\cdot4\cdot5\cdot4+...+k\cdot\left(k+1\right)\cdot\left(k+2\right)\cdot4\)

= \(1\cdot2\cdot3\cdot4+2\cdot3\cdot4\cdot\left(5-1\right)+3\cdot4\cdot5\cdot\left(6-2\right)+...+k\cdot\left(k+1\right)\cdot\left(k+2\right)\cdot\left[\left(k+3\right)-\left(k-1\right)\right]\)= 1*2*3*4 + 2*3*4*5 - 1*2*3*4 + 3*4*5*6 - 2*3*4*5 + ... + k*(k+1)*(k+2)*(k+3) - (k-1)*k*(k+1)*(k+2)

=k*(k+1)*(k+2)*(k+3)

Ta có : S = 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + ..... + k(k + 1)(k + 2) 

=> 4S = 1.2.3.4 - 1.2.3.4 + 2.3.4.5 - 2.3.4.5 + .... + k(k + 1)(k + 2)(k + 3)

= k(k + 1)(k + 2)(k + 3) 

= (k² + 3k)(k² + 3k + 2)

Nên :4S + 1 =   (k² + 3k)(k² + 3k + 2) + 1 

Đặt k² + 3k = t 

Ta có : 4S + 1 = t(t + 2) + 1

= t² + 2t + 1 

= (t + 1)² 

Vì k thuộc N nên : k² + 3k thuôc N <=> t + 1 = k² + 3k + 1 thuôc N 

Vậy 4S + 1 là bình phương của 1 số tự nhiên 

Ta có : C = |x-2016|+|x-2015|

=>       C = |2016-x|+|x-2015|

Áp dụng công thức : \(\left|a\right|+\left|b\right|\ge\left|a+b\right|\)(Với a;b \(\in Z\))

\(\Rightarrow C\ge\left|2016-x+x-2015\right|=1\)

Vậy dấu "=" xảy ra khi :

\(\orbr{\begin{cases}x\le2016\\x\ge2015\end{cases}}\Rightarrow x=\hept{\begin{cases}2016\\2015\end{cases}}\)

Vậy với x = 2016 hoặc x = 2015 thì C đạt GTNN = 1

C=lx-2016l+lx-2015l=lx-2016l+l2015-xl=<lx-2016+2015-xl=1

dấu = xảy ra khi 2015=<x=<2016

vậy gtnn c=2016 khi 2015=<x=<6 

Ta có : 

\(S=1.2.3+2.3.4+3.4.5+...+k\left(k+1\right)\left(k+2\right)\)

\(4S=1.2.3.4+2.3.4.4+3.4.5.4+...+k\left(k+1\right)\left(k+2\right).4\)

\(4S=1.2.3.\left(4-0\right)+2.3.4\left(5-1\right)+3.4.5\left(6-2\right)+...+k\left(k+1\right)\left(k+2\right)\left(k+1-k-1\right)\)

\(4S=1.2.3.4-1.2.3.0+2.3.4.5-2.3.4+3.4.5.6-2.3.4.5+...+k\left(k+1\right)\left(k+2\right)\left(k+3\right)-\)

\(\left(k-1\right)k\left(k+1\right)\left(k+2\right)\)

\(4S=\left(k-1\right)k\left(k+1\right)\left(k+2\right)\)

\(\Rightarrow\)\(4S+1=\left(k-1\right)k\left(k+1\right)\left(k+2\right)+1\)

Lại có tích của 4 số tự nhiên liên tiếp cộng 1 luôn là số chính phương ( muốn chứng minh thì mình chứng minh luôn ) 

Vậy \(4S+1\) là bình phương của một số tự nhiên 

Chúc bạn học tốt ~ 

S=1.2.3+2.3.4+3.4.5+...+k(k+1)(k+2)

=> 4S=1.2.3.4+2.3.4.4+3.4.5.4+...+k(k+1)(k+2).4

<=> 4S=1.2.3.4+2.3.4(5-1)+3.4.5(6-2)+...+k(k+1)(k+2)[(k+3)-(k-1)]

<=> 4S=1.2.3.4+2.3.4.5-1.2.3.4+3.4.5.6-2.3.4.5+...+k(k+1)(k+2)(k+3)-(k-1).k(k+1)(k+2)(k+3)

=> 4S=k(k+1)(k+2)(k+3)

=> 4S+1=k(k+1)(k+2)(k+3)+1 = k(k+3)(k+1)(k+2)+1 = (k²+3k)(k²+3k+2)+1

Đặt: n=k²+3k 

=> 4S+1 = n(n+2)+1 = n²+2n+1 = (n+1)². 

=> 4S+1 = (k²+3k+1)². 

=> (4S+1) là bình phương của 1 số tự nhiên có giá trị là: (k²+3k+1)

Ví dụ: k=5 thì 4S+1=(25+15+1)²=41²

Bài 1 : 

Gọi 4 số tự nhiên, liên tiêp đó là n, n + 1, n+ 2, n + 3 (n ∈ N). Ta có

n(n + 1)(n + 2)(n + 3) + 1 = n.(n + 3(n + 1)(n + 2) + 1

= (n² + 3n)( n² + 3n + 2) + 1 (*)

Đặt n² + 3n = t (t ∈ N) thì (*) = t( t + 2 ) + 1 = t² + 2t + 1 = (t + 1)² = (n² + 3n + 1)²

Vì n ∈ N nên n² + 3n + 1 ∈ N Vậy n(n + 1)(n + 2)(n + 3) + 1 là số chính phương.

Bài 2 : 

Ta có k(k+1)(k+2) = 1/4 k(k+1)(k+2).4 = 1/4 k(k+1)(k+2).[(k+3) – (k-1)]

= 1/4 k(k+1)(k+2)(k+3) - 1/4 k(k+1)(k+2)(k-1)

→ S = 1/4.1.2.3.4 - 1/4.0.1.2.3 + 1/4.2.3.4.5 - 1/4.1.2.3.4 +...+ 1/4k(k+1)(k+2)(k+3) - 1/4k(k+1)(k+2)(k-1) = 1/4k(k+1)(k+2)(k+3)

4S + 1 = k(k+1)(k+2)(k+3) + 1

Theo kết quả bài 2 → k(k+1)(k+2)(k+3) + 1 là số chính phương.

chỉ mik tick một lần dc 3 cái

       Câu hỏi của Nguyễn Mai        

Cho S = 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + . . . + k(k+1)(k+2)

Chứng minh rằng 4S + 1 là số chính phương .

Ta có k(k+1)(k+2) = 41 k(k+1)(k+2).4

                             = 41 k(k+1)(k+2).[(k+3) – (k-1)]

                            = 41 k(k+1)(k+2)(k+3) - 41 k(k+1)(k+2)(k-1)

⇒S =41.1.2.3.4 -41.0.1.2.3 + 41.2.3.4.5 -41.1.2.3.4 +…+41 k(k+1)(k+2)(k+3) -41 k(k+1)(k+2)(k-1)

= 41 k(k+1)(k+2)(k+3)4S + 1

= k(k+1)(k+2)(k+3) + 1Theo kết quả bài 2

⇒ k(k+1)(k+2)(k+3) + 1 là số chính phương.

 

Bài 1: Chứng minh rằng mọi số nguyên x, y thì:

A = (x + y)(x + 2y)(x + 3y)(x + 4y) + là số chính phương.

Giải: Ta có A = (x + y)(x + 2y)(x + 3y)(x + 4y) + y4

= (x² + 5xy + 4y²)(x² + 5xy + 6y²) + y⁴

Đặt x² + 5xy + 5y² = t (t ∈ Z) thì

A = (t - y²)(t + y²) + y⁴ = t² - y⁴ + y⁴ = t² = (x² + 5xy + 5y²)²

Vì x, y, z ∈ Z nên x² ∈ Z, 5xy ∈ Z, 5y² ∈ Z => (x² + 5xy + 5y²) ∈ Z

Vậy A là số chính phương.

Bài 2: Chứng minh tích của 4 số tự nhiên liên tiếp cộng 1 luôn là số chính phương.

Giải: Gọi 4 số tự nhiên, liên tiếp đó là n, n + 1, n + 2, n + 3 (n ∈ Z). Ta có:

n(n + 1)(n + 2)(n + 3) + 1 = n . ( n + 3)(n + 1)(n + 2) + 1

= (n² + 3n)(n² + 3n + 2) + 1 (*)

Đặt n² + 3n = t (t ∈ N) thì (*) = t(t + 2) + 1 = t² + 2t + 1 = (t + 1)²

= (n² + 3n + 1)²

Vì n ∈ N nên n² + 3n + 1 ∈ N. Vậy n(n + 1)(n + 2)(+ 3) + 1 là số chính phương.

Bài 3: Cho S = 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + . . . + k(k+1)(k+2)

Chứng minh rằng 4S + 1 là số chính phương .

Ta có k(k+1)(k+2) = 1/4 k(k+1)(k+2).4 = 1/4 k(k+1)(k+2).[(k+3) – (k-1)]

= 1/4 k(k+1)(k+2)(k+3) - 1/4 k(k+1)(k+2)(k-1)

→ S = 1/4.1.2.3.4 - 1/4.0.1.2.3 + 1/4.2.3.4.5 - 1/4.1.2.3.4 +...+ 1/4k(k+1)(k+2)(k+3) - 1/4k(k+1)(k+2)(k-1) = 1/4k(k+1)(k+2)(k+3)

4S + 1 = k(k+1)(k+2)(k+3) + 1

Theo kết quả bài 2 → k(k+1)(k+2)(k+3) + 1 là số chính phương.

S.4=1.2.3.4+2.3.4.4+...+k(k+1)(k+1).4

=1.2.3(4-0)+2.3.4.(5-1)+...+k(k+1)(k+2)(k+3-k-1)

=1.2.3.4-0+1.2.3.4-2.3.4.5+...+k(k+1)(k+2)(k+3)-(k-1)k(k+1)(k+2)

=(k-1)k(k+1)(k+2)

=>4S+1=(k-1)k(k+1)(k+2)+1

do (k-1)k(k+1)(k+2) là tích 4 số tự nhiên liên tiếp mà tích 4 số tự nhiên liên tiếp +1 luôn là số chính phương ( cái này bạn tự chứng minh )

=> 4S+1 là số chính phương (đpcm)

Ta có: k(k + 1)(k + 2) = 1/4. k(k + 1)(k + 2). 4
= 1/4. k(k + 1)(k + 2). [(k + 3) - (k - 1)]
= 1/4. k(k + 1)(k + 2)(k + 3) - 1/4. k(k + 1)(k + 2)(k - 1)
=> 4S = 1.2.3.4 - 0.1.2.3 + 2.3.4.5 - 1.2.3.4 + ... + k(k + 1)(k + 2)(k + 3) - k(k + 1)(k + 2)(k - 1)
= k(k + 1)(k + 2)(k + 3)
=> 4S + 1 = k(k + 1)(k + 2)(k + 3) + 1
Đây là tổng của 4 số liên tiếp cộng 1 nên luôn là số chính phương.

bạn wicth roses sai r

4 ko = k+3-k-1