Đặt b + c - a = x; c + a - b = y; a + b - c = z. (x, y, z > 0)

Ta có \(A=\dfrac{a}{b+c-a}+\dfrac{4b}{c+a-b}+\dfrac{9c}{a+b-c}=\dfrac{y+z}{2x}+\dfrac{2\left(z+x\right)}{y}+\dfrac{9\left(x+y\right)}{2z}=\left(\dfrac{y}{2x}+\dfrac{2x}{y}\right)+\left(\dfrac{z}{2x}+\dfrac{9x}{2z}\right)+\left(\dfrac{9y}{2z}+\dfrac{2z}{y}\right)\ge2\sqrt{\dfrac{y}{2x}.\dfrac{2x}{y}}+2\sqrt{\dfrac{z}{2x}.\dfrac{9x}{2z}}+2\sqrt{\dfrac{9y}{2z}.\dfrac{2z}{y}}=2+3+6=11\).

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(3y=2z=6x\Leftrightarrow3\left(c+a-b\right)=2\left(b+c-a\right)=6\left(a+b-c\right)\)

\(\Leftrightarrow a=\dfrac{5}{6};b=\dfrac{2}{3};c=\dfrac{1}{2}\).

Đặt b+c-a=x

c+a-b=y                           (x,y,z>0)

a+b-c=z

rồi rút a,b,c theo x,y,z.

AD Svacso 

Đặt: x = b + c - a 

y = c + a - b 

z = a + b - c 

=> x + y + z = a + b + c = 2 

=> \(a=\frac{y+z}{2}\); \(b=\frac{x+z}{2}\); \(c=\frac{x+y}{2}\)

=> \(S=\frac{1}{2}\left(\frac{y+z}{x}+\frac{4z+4x}{y}+\frac{9x+9y}{z}\right)\)

\(=\frac{1}{2}\left(\frac{2-x}{x}+\frac{8-4y}{y}+\frac{18-9z}{z}\right)\)

\(=\frac{1}{x}+\frac{4}{y}+\frac{9}{z}-7\ge\frac{\left(1+2+3\right)^2}{x+y+z}-7=11\)

Dấu "=" xảy ra <=> \(\frac{1}{x}=\frac{2}{y}=\frac{3}{z}=\frac{1+2+3}{x+y+z}=3\)

=> x = 1/3; y = 2/3; z = 1 

=> a = 5/6; b = 2/3; c = 1/2

Vậy min S = 11 đạt tại  a = 5/6; b = 2/3 ; c = 1/2

Cách em ko khác cô Chi. Nhưng đỡ phải đặt ạ

\(\frac{a}{b+c-a\:}+\frac{4b}{c+a-b}+\frac{9c}{a+b-c}+14\)

\(=\frac{B+C}{A}+\frac{4\left(C+A\right)}{B}+\frac{9\left(A+B\right)}{C}\)

\(\frac{2-A}{A}+\frac{8-4B}{B}+\frac{18-9C}{C}\)

\(=2\left(\frac{1}{A}+\frac{4}{B}+\frac{9}{C}\right)-14\)

\(\ge2.\frac{36}{A+B+C}-14=22̸\)

Em thấy mik nhqàm đâu đó ạ

............................

.........................???????/

Từ giả thiết : \(abc=b+2c\)

\(\Leftrightarrow\frac{b+2c}{bc}=a\)

\(\Leftrightarrow\frac{1}{c}+\frac{2}{b}=a\)(1)

Áp dụng bất đẳng thức \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}\)

Ta có : \(P=\frac{3}{b+c-a}+\frac{4}{c+a-b}+\frac{5}{a+b-c}\)

\(=\frac{1}{b+c-a}+\frac{1}{c+a-b}+2\left(\frac{1}{b+c-a}+\frac{1}{a+b-c}\right)+3\left(\frac{1}{c+a-b}+\frac{1}{a+b-c}\right)\)

\(\ge\frac{4}{2c}+2\cdot\frac{4}{2b}+3\cdot\frac{4}{2a}=\frac{2}{c}+\frac{4}{b}+\frac{6}{a}\)

Áp dụng (1) vào \(P\): \(\frac{2}{c}+\frac{4}{b}+\frac{6}{c}=2\left(\frac{1}{c}+\frac{2}{b}+\frac{3}{a}\right)=2\left(a+\frac{3}{a}\right)\ge4\sqrt{3}\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c=\sqrt{3}\)

Vậy \(Min_P=4\sqrt{3}\Leftrightarrow a=b=c=\sqrt{3}\)

Áp dụng BĐT \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{4}{x+y},x>0,y>0\)

\(P=\frac{1}{b+c-a}+\frac{1}{a+c-b}+2\left(\frac{1}{b+c-a}+\frac{1}{a+b-c}\right)+3\left(\frac{1}{a+c-b}+\frac{1}{a+b-c}\right)\)

\(\Rightarrow P\ge\frac{2}{c}+\frac{4}{b}+\frac{6}{a}\)

Từ giả thiết ta có: \(\frac{1}{c}+\frac{2}{b}=a\) nên \(\frac{2}{c}+\frac{4}{b}+\frac{6}{a}=2\left(\frac{1}{c}+\frac{2}{b}+\frac{3}{a}\right)=2\left(a+\frac{3}{a}\right)\ge4\sqrt{3}\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c=\sqrt{3}\)

Vậy giá trị nhỏ nhất của P=\(4\sqrt{3}\) đạt được khi \(a=b=c=\sqrt{3}\)

cô lấy đề thầy cẩn full luôn ạ cô

Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}b+c-a=2x\\c+a-b=2y\\a+b-c=2z\end{matrix}\right.\)\(\forall x,y,z>0\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=y+z\\b=x+z\\c=x+y\end{matrix}\right.\)

Khi đó: \(S=\dfrac{y+z}{2x}+\dfrac{4\left(x+z\right)}{2y}+\dfrac{9\left(x+y\right)}{2z}\)

\(\Rightarrow2S=\dfrac{y+z}{x}+\dfrac{4\left(x+z\right)}{y}+\dfrac{9\left(x+y\right)}{z}\)

\(=\left(\dfrac{y}{x}+\dfrac{4x}{y}\right)+\left(\dfrac{z}{x}+\dfrac{9x}{z}\right)+\left(\dfrac{4z}{y}+\dfrac{9y}{z}\right)\)

Áp dụng BĐT AM-GM ta có:

\(2S\ge2\sqrt{\dfrac{y}{x}\cdot\dfrac{4x}{y}}+2\sqrt{\dfrac{z}{x}\cdot\dfrac{9x}{z}}+2\sqrt{\dfrac{4z}{y}+\dfrac{9y}{z}}\)

\(\Leftrightarrow2S\ge2\sqrt{4}+2\sqrt{9}+2\sqrt{36}\)

\(\Leftrightarrow2S\ge4+6+12=22\Leftrightarrow S\ge11\)

tam giác ABC có cạnh a,b,c vậy 4d ?

Theo giả thiết có : \(abc\ne0\)chia hai vế của phương trình cho \(abc\)có : \(\frac{2ab+3bc+4ac}{abc}=\frac{5abc}{abc}\Leftrightarrow\frac{2}{a}+\frac{3}{b}+\frac{4}{c}=1\)

Xét : (ở tử của p  tắc 7 = 4+3; 6= 4+2; 5=2+3 rồi nhóm nhân tử chung)

\(P=\frac{7}{a+b-c}+\frac{6}{b+c-a}+\frac{5}{c+a-b}\)

\(=\frac{4}{a+b-c}+\frac{3}{a+b-c}+\frac{4}{b+c-a}+\frac{2}{b+c-a}+\frac{3}{c+a-b}+\frac{2}{c+a-b}\)

\(=4\left(\frac{1}{a+b-c}+\frac{1}{b+c-a}\right)+3\left(\frac{1}{a+b-c}+\frac{1}{c+a-b}\right)+2\left(\frac{1}{b+c-a}+\frac{1}{c+a-b}\right)\)

Nếu có \(x,y\left(x>0,y>0\right)\)ta luôn có \(\left(x+y\right)^2\ge4xy\Leftrightarrow\frac{x+y}{xy}\ge\frac{4}{x+y}\Leftrightarrow\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{4}{x+y}\)

áp dụng vào P có

\(\frac{1}{a+b-c}+\frac{1}{b+c-a}\ge\frac{4}{a+b-c+b+c-a}=\frac{4}{2b}=\frac{2}{b}\)

\(\frac{1}{a+b-c}+\frac{1}{c+a-b}\ge\frac{4}{a+b-c+c+a-b}=\frac{4}{2a}=\frac{2}{a}\)

\(\frac{1}{b+c-a}+\frac{1}{c+a-b}\ge\frac{4}{b+c-a+c+a-b}=\frac{4}{2c}=\frac{2}{c}\)

Cộng từng vế của 3 bất đẳng thức :

\(P\ge4.\frac{2}{b}+3.\frac{2}{a}+2.\frac{2}{c}=2\left(\frac{4}{b}+\frac{3}{a}+\frac{2}{c}\right)=2.5=10\)

Vậy \(P_{min}=10\)dấu "=" sảy ra khi \(a=b=c=\frac{9}{5}\)

trên đầu mình viết nhầm nhe chỗ tổng phân số bằng 5 chứ ko phải 1 

Theo tớ nghĩ lúc đầu là:

Áp dụng bất đẳng thức cô-si, ta co:

5=\(\frac{3}{a}\)+\(\frac{4}{b}\)+\(\frac{2}{c}\)>= \(\frac{\left(3+4+2\right)}{\left(3a+4b+2c\right)}^2\)=>      3a +  4b   +    2c   >=   \(\frac{81}{5}\)

Suy ra                  P>=    \(\frac{\left(7+6+5\right)^2}{7\left(a+b-c\right)+6\left(b+c-a\right)+5\left(c+a-b\right)}\)

=  10

..............................................v.v.............đoạn đầu của mk đấy.