a) Ta có 

\(a^2+4b^2=12ab\Leftrightarrow\left(a+2b\right)^2=16ab\)

Do a,b dương nên \(a+2b=4\sqrt{ab}\) khi đó lấy logarit cơ số 10 hai vế ta được :

\(lg\left(a+2b\right)=lg4+\frac{1}{2}lg\left(ab\right)\)

hay 

\(lg\left(a+2b\right)-2lg2=\frac{1}{2}\left(lga+lgb\right)\)

b) Giả sử a,b,c đều dương khác 0. Để biểu diễn c theo a, ta rút lgb từ biểu thức \(a=10^{\frac{1}{1-lgb}}\) và thế vào biểu thức \(b=10^{\frac{1}{1-lgc}}\). Sau khi lấy logarit cơ số 10 2 vế, ta có :

\(a=10^{\frac{1}{1-lgb}}\Rightarrow lga=\frac{1}{1-lgb}\Rightarrow lgb=1-\frac{1}{lga}\)

Mặt khác , từ \(b=10^{\frac{1}{1-lgc}}\) suy ra \(lgb=\frac{1}{1-lgc}\) Do đó :

\(1-\frac{1}{lga}=\frac{1}{1-lgc}\)

\(\Rightarrow1-lgx=\frac{lga}{lga-1}=1+\frac{1}{lga-1}\)

\(\Rightarrow lgc=\frac{1}{1-lga}\)

Từ đó suy ra : \(c=10^{\frac{\frac{1}{1-lga}}{ }}\)

Ta có : \(a=10^{\frac{1}{1-lgb}}\Leftrightarrow lga=lg10^{\frac{1}{1-lgb}}=\frac{1}{1-lgb}\)

                             \(\Leftrightarrow lgb=1-\frac{1}{lga}=\frac{lga-1}{lga}\left(1\right)\)

           \(b=10^{\frac{1}{1-lgc}}\Leftrightarrow lgb=lg10^{\frac{1}{1-lgc}}=\frac{1}{1-lgc}\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) \(\Rightarrow\frac{lga-1}{lga}=\frac{1}{1-lgc}\Leftrightarrow lgc=1-\frac{lga}{lga-1}=\frac{1}{1-lga}\)

                                             \(\Leftrightarrow10^{lgc}=10^{\frac{1}{1-lga}}\Leftrightarrow c=10^{\frac{1}{1-lga}}\Rightarrow\) Điều phải chứng minh

Theo đề +áp dụng cô si ,ta có:

\(1\ge2a+3b\ge2\sqrt{6ab}\\ \Rightarrow ab\le\frac{1}{24}\)(1)

ÁP dụng cô si cho 2 số ko âm ,ta có:

\(4a^2+9b^2\ge12ab\)(2)

Thay (1),(2) vào ,ta có:

\(36a^2b^2\left(4a^2+9b^2\right)\le36\cdot\frac{1}{24^2}\cdot12\cdot\frac{1}{24}=\frac{1}{32}\)

đến đây thì xong oy

Học tốt nha

^-^

ngược dấu kìa 

phải làm thế này mới đúng 

Áp dụng BĐT xy \(\le\)\(\frac{\left(x+y\right)^2}{4}\). Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow\)x = y

Ta có : \(36a^2b^2\left(4a^2+9b^2\right)=3ab.12ab.\left(4a^2+9b^2\right)\)

\(\le\frac{1}{2}.\left(2a.3b\right).\frac{4a^2+9b^2+12ab}{4}\le\frac{1}{2}.\frac{\left(2a+3b\right)^2}{4}.\frac{\left(2a+3b\right)^2}{4}\le\frac{1}{32}\)

Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow\)\(a=\frac{1}{4};b=\frac{1}{6}\)

Với \(a>b>c:\hept{\begin{cases}\frac{2a^2}{a-b}\ge\frac{2a^2-2b^2}{a-b}=\frac{2\left(a-b\right)\left(a+b\right)}{a-b}=2a-2b\\\frac{b^2}{b-c}\ge\frac{b^2-c^2}{b-c}=\frac{\left(b-c\right)\left(b+c\right)}{b-c}=b+c\end{cases}}\)

\(\Rightarrow\frac{2a^2}{a-b}+\frac{b^2}{b-c}\ge2a+3b+c\)

Dấu đẳng thức xảy ra \(\Leftrightarrow b=c=0\)(Vô lí với \(b>c\))

Vậy \(\frac{2a^2}{a-b}+\frac{b^2}{b-c}>2a+3b+c\)

\(\left(\frac{1}{2a-b}+\frac{3b}{b^2-4a^2}-\frac{2}{2a+b}\right):\left(1+\frac{4a^2+b^2}{4a^2-b^2}\right)\left(ĐK:2a\ne\pm b\right)\)

\(=\left(\frac{1}{2a-b}-\frac{3b}{\left(2b-b\right)\left(2a+b\right)}-\frac{2}{2a+b}\right):\frac{4a^2-b^2+4a^2+b^2}{\left(2a-b\right)\left(2a+b\right)}\)

\(=\frac{2a+b-3b-2\left(2a-b\right)}{\left(2a-b\right)\left(2a+b\right)}\cdot\frac{\left(2a-b\right)\left(2a+b\right)}{8a^2}\)

\(=\frac{2a+b-3b-4a+2b}{8a^2}=\frac{-2a}{8a^2}=-\frac{1}{4a}\)