Cho phương trình \(x^4+3x^2-\left(24+m\right)x-26-n=0\), tìm hệ thức liên hệ giữa m và n để 3 nghiệm phân biệt \(x_1,x_2,x_3\) lập thành một cấp số cộng ?
Cho phương trình: x 3 + 3 x 2 – ( 24 + m ) x - 26 – n = 0 . Tìm hệ thức liên hệ giữa m và n để 3 nghiệm phân biệt x 1 , x 2 , x 3 lập thành một cấp số cộng
A. 3m =n
B. m =n
C. m =3n
D. m + n =0
Chọn B
Vì ba nghiêm phân biệt x 1 , x 2 , x 3 lập thành một cấp số cộng nên ta đặt : x 1 = x 0 + d , x 2 = x 0 , x 3 = x 0 + d ( d ≠ 0 )
Theo giả thuyết Ta có: x3+3x2 – (24+m)x – 26- n= (x – x1)(x-x2)(x-x3)
=(x-xo+d)(x-xo)(x-xo-d)= x3 – 3xox2+ (3xo2-d2)x-xo3+ xod2 với mọi x
Vậy với m=n thì ba nghiệm phân biệt của phương trình lập thành một cấp số cộng
Cho phương trình \(x^2-\left(2m+1\right)x+m^2+m=0\)
Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn \(-2< x_1< x_2< 2\)
Tìm hệ thức liên hệ giữa x1 và x2 không chứa m
Cho phương trình \(x^2-2\left(m+1\right)x+m^2-3=0\)
Tìm m sao cho phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt \(x_1;x_2\) thỏa mãn hệ thức \(x_1^2+x_2^2+3x_1x_2=14\)
\(\Delta'=\left(m+1\right)^2-\left(m^2-3\right)=2m+4>0\Rightarrow m>-2\)
Theo hệ thức Viet: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=2\left(m+1\right)\\x_1x_2=m^2-3\end{matrix}\right.\)
\(x_1^2+x_2^2+3x_1x_2=14\)
\(\Leftrightarrow\left(x_1+x_2\right)^2+x_1x_2=14\)
\(\Leftrightarrow4\left(m+1\right)^2+m^2-3=14\)
\(\Leftrightarrow5m^2+8m-13=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}m=1\\m=-\dfrac{13}{5}< -2\left(loại\right)\end{matrix}\right.\)
Để pt có 2 nghiệm phân biệt thì Δ'>0
Δ'= [-(m+1)]2-1*(m2-3)>0
= m2+2m+1-m2+3>0
= 2m+4 >0
↔ 2m>-4
↔ m>-2
áp dụng hệ thức vi-ét ta có :
[x1+x2=2(m+1)=2m+2
[x1x2=m2-3
ta lại có: x12+x22+3x1x2 =14
<=> (x1+x2)2+x1x2=14
<=> (2m+2)2 +(m2-3)=14
<=> 4m2+8m+4+m2-3-14=0
<=> 5m2+8m-17=0
Δ'=42-5(-17)
=101
Định m để phương trình \(\left(m-2\right)x^2-2\left(m-1\right)x+m-3=0,\left(m\ne2\right)\) có nghiệm \(x_1;x_2\), và thiết lập hệ thức giữa các nghiệm độc lập đối với m.
Ta có Δ=[-2(m-1)]^2-4.(m-3)=(2m-2)^2-4m+12
=4m^2-8m+4-4m+12=4m^2-12m+16
=4(m^2-3m+4)=4.[m^2-2.3/2+(3/2)^2-(3/2)^2+4]
=4.[(m-3/2)^2+7/4]>0(với mọi m)=>Δ>0
Vậy phương trình có 2 nghiệm phân biệt với mọi m
=> x1=[2m-2+2.√(m-3)^2+7/4]/2(m-2)=[m-1+√(m-3)^2+7/4]/(m-2)
x2=[m-1-√(m-3)^2+7/4]/(m-2)
Để pt có 2 nghiệm:
\(\left\{{}\begin{matrix}m-2\ne0\\\Delta'=\left(m-1\right)^2-\left(m-2\right)\left(m-3\right)\ge0\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m\ne2\\3m\ge5\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m\ne2\\m\ge\dfrac{5}{3}\end{matrix}\right.\)
Theo hệ thức Viet: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=\dfrac{2m-2}{m-2}\\x_1x_2=\dfrac{m-3}{m-2}\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=\dfrac{2m-2}{m-2}\\2x_1x_2=\dfrac{2m-6}{m-2}\end{matrix}\right.\)
Cộng vế: \(x_1+x_2+2x_1x_2=\dfrac{4m-8}{m-2}=\dfrac{4\left(m-2\right)}{m-2}\)
\(\Leftrightarrow x_1+x_2+2x_1x_2=4\)
Đây là hệ thức liên hệ 2 nghiệm độc lập m
theo vi ét có x1+x2=(2m-2)/(m-2)(1)
x1.x2=(m-3)/(m-2)(2)
từ (2) =>x1x2(m-2)=m-3<=>x1.x2.m-2.x1.x2=m-3
<=>x1.x2.m-m=-3+2.x1.x2<=>m(x1.x2-1)=-3+2.x1.x2<=>m=(-3+2.x1.x2)/(x1.x2-1)(3)
thay m(3) vào pt (1) tự rút gọn n hé dài quá
Cho phương trình \(x^3-mx-2\left(m-4\right)=0\). Tìm m để phương trình có 3 nghiệm phân biệt \(x_1,x_2,x_3\)sao cho \(x_1^2+x_2^2+x_3^2+x_1x_2x_3=25\)
1.Cho phương trình: \(x^2-2\left(m-1\right)+2m-5=0\) (m là tham số). Chứng minh phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt x1;x2 với mọi m. Tìm m để các nghiệm đó thỏa mãn hệ thức:
\(\left(x_1^2-2mx_1-x_2+2m-3\right)\left(x^2_2-2mx_2-x_1+2m-3\right)=19\)
Cho phương trình ẩn x : \(^{x^2-5x+m-2=0\left(1\right)}\)
a.Giải phương trình (1) khi m=-4
b.Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm dương phân biệt \(_{x_1,_{ }x_2}\)thỏa mãn hệ thức \(2\left(\dfrac{1}{\sqrt{x_1}}+\dfrac{1}{\sqrt{x_2}}\right)=3\)
a. thay m=-4 vào (1) ta có:
\(x^2-5x-6=0\)
Δ=b\(^2\)-4ac= (-5)\(^2\) - 4.1.(-6)= 25 + 24= 49 > 0
\(\sqrt{\Delta}=\sqrt{49}=7\)
x\(_1\)=\(\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{5+7}{2}\)=6
x\(_2\)=\(\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{5-7}{2}\)=-1
vậy khi x=-4 thì pt đã cho có 2 nghiệm x\(_1\)=6; x\(_2\)=-1
Cho phương trình \(x^2-2\left(m-1\right)x+2m-3=0\) (1)
a. Giải phương trình khi m = 1
b. Chứng minh rằng phương trình luôn có nghiệm với mọi m
c. Tìm m để (1) có 2 nghiệm trái dấu
d. Tìm hệ thức liên hệ giữa \(x_1,x_2\) không phụ thuộc vào m
a, Thay m = 1 ta đc
\(x^2-1=0\Leftrightarrow x=1;x=-1\)
b, \(\Delta'=\left(m-1\right)^2-\left(2m-3\right)=m^2-4m+4=\left(m-2\right)^2\)
Để pt có 2 nghiệm pb khi delta' > 0
\(m-2\ne0\Leftrightarrow m\ne2\)
c, để pt có 2 nghiệm trái dấu khi \(x_1x_2=2m-3< 0\Leftrightarrow m< \dfrac{3}{2}\)
d.
Theo Viet: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=2m-2\\x_1x_2=2m-3\end{matrix}\right.\)
Trừ vế cho vế:
\(\Rightarrow x_1+x_2-x_1x_2=1\)
Đây là hệ thức liên hệ 2 nghiệm ko phụ thuộc m
Cho phương trình \(x^4-\left(3m+1\right)x^2+6m-2=0.\)
Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình có 4 nghiệm phân biệt \(x_1;x_2;x_3;x_4\)sao cho \(x_1-x_2=x_2-x_3=x_3-x_4\)