Gọi O là giao điểm của AC và BD ⇒ O là trung điểm của AC và BD.

Xét ΔABC có BO là trung tuyến

Mà O là trung điểm của BD nên BD = 2. BO ⇒ BD2 = 4. BO2

⇒ BD2 = 2.(AB2 + BC2) – AC2

⇒ BD2 + AC2 = 2.(AB2 + BC2)

⇒ m2 + n2 = 2.(a2 + b2) (ĐPCM).

Áp dụng định lí về đường trung tuyến:

OA² = - (1)

Thay OA = , AB = a, AD = BC = b và BD = m vào (1) ta có:
\(\left(\dfrac{n}{2}\right)^2=\dfrac{b^2+a^2}{2}-\dfrac{m^2}{4}\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{n^2}{4}+\dfrac{m^2}{4}=\dfrac{a^2+b^2}{2}\)
\(\Leftrightarrow m^2+n^2=2\left(a^2+b^2\right)\)

Gọi giao điểm của AC và BD là O

Ta có: \(OB^2=\dfrac{2\left(AB^2+BC^2\right)-AC^2}{4}\)

\(\Leftrightarrow\) \(4OB^2+AC^2=2\left(AB^2+BC^2\right)\)

\(\Leftrightarrow\) \(BD^2+AC^2=2\left(AB^2+BC^2\right)\) (Do \(4OB^2=\left(2OB\right)^2\) mà 2OB = BD)

\(\Leftrightarrow\) \(m^2+n^2=2\left(a^2+b^2\right)\) (đpcm)

Chúc bn học tốt!

- Gọi E là giao điểm của AC và BD

△ABE có trung tuyến BE

\(\Rightarrow BE^2=\dfrac{2\left(AB^2+BC^2\right)-AC^2}{4}\)

\(\Rightarrow4.BE^2=2\left(AB^2+BC^2\right)-AC^2\)

Mà O là trung điểm BD \(\Rightarrow BD=2.BE\Rightarrow BD^2=4.BE^2\)

\(\Rightarrow BD^2=2\left(AB^2+BC^2\right)-AC^2\)

\(\Rightarrow BD^2+AC^2=2\left(AB^2+BC^2\right)\)

Vậy: \(AC^2+BD^2=2\left(a^2+b^2\right)\left(đpcm\right)\)

(Hình như đây là Toán 10?)

Lời giải:
Kẻ đường cao $BH, DT$ của hình bình hành

Dễ chứng minh $\triangle ADT =\triangle BCH$ (ch-gn)

$\Rightarrow DT=CH; AT=BH$

Áp dụng định lý Pitago:

$AC^2+BD^2=AT^2+TC^2+BH^2+DH^2$

$=(AT^2+BH^2)+TC^2+DH^2)$

$=2AT^2+(DC-DT)^2+(DC+CH)^2$

$=2(AD^2-DT^2)+(DC-DT)^2+(DC-DT)^2$

$=2(b^2-DT^2)+(a-DT)^2+(a+DT)^2$

$=2(b^2+a^2)$

Ta có đpcm.

Hình vẽ:

ta có \(\hept{\begin{cases}\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}\Rightarrow AC^2=AB^2+BC^2+2\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{BC}\\\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AD}\Rightarrow BD^2=BA^2+AD^2+2\overrightarrow{BA}.\overrightarrow{AD}\end{cases}}\)

mà \(\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{BA}.\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AD}=0\)

Do đó \(AC^2+BD^2=2AB^2+2BC^2\Leftrightarrow m^2+n^2=2\left(a^2+b^2\right)\)

Theo chứng minh ở câu a. △ AEB đồng dạng  △ ABC theo tỉ số k = 1/2 nên dễ thấy BE = 1/2 BC hay BE = BM

Suy ra: ΔBEM cân tại B.

Xét tam giác EBC có: 

Suy ra: OB là đường phân giác góc EBC

BO là đường phân giác góc ở đỉnh của tam giác cân BEM nên BO vuông góc với cạnh đáy EM (đpcm).