Gọi ABCD là tứ giác nội tiếp đường tròn.Trên cung nhỏ BC, ta có các góc nội tiếp ∠BAC = ∠BDC, và trên cung AB, ∠ADB = ∠ACB.Lấy 1 điểm K trên AC sao cho ∠ABK = ∠CBD;Từ ∠ABK + ∠CBK = ∠ABC = ∠CBD + ∠ABD, suy ra ∠CBK = ∠ABD.Do vậy tam giác △ABK đồng dạng với tam giác △DBC, và tương tự có △ABD ∼ △KBC.Suy ra: AK/AB = CD/BD, và CK/BC = DA/BD;Từ đó AK·BD = AB·CD, và CK·BD = BC·DA;Cộng các vế của 2 đẳng thức trên: AK·BD + CK·BD = AB·CD + BC·DA;Hay: (AK+CK)·BD = AB·CD + BC·DA;Mà AK+CK = AC, nên AC·BD = AB·CD + BC·DA; (điều phải chứng minh)

Đây là đẳng thức ptôlêmê. 
C/m: Lấy 1 điểm M thuộc AC sao cho gocABD=gocMBC. Do tứ giác ABCD nội tiếp nên ^ADC=^ACB. Từ 2 điều trên suy ra tam giác ABD ~ MBC(g.g). Suy ra AD/MC=BD/BC => AD.BC=BD.MC (1) 
Từ cặp tam giác đồng dạng trên ta cũng có AB/BM = BD/BC => AB/BD = BM/BC mà ^ABM = ^DBC nên tam giác ABM ~ tam giác DBC. 
=> AB.CD=AM.BD (2) 
Cộng (1), (2) vế theo vế suy ra dpcm.

Đây là đẳng thức ptôlêmê. 
C/m: Lấy 1 điểm M thuộc AC sao cho gocABD=gocMBC. Do tứ giác ABCD nội tiếp nên ^ADC=^ACB. Từ 2 điều trên suy ra tam giác ABD ~ MBC(g.g). Suy ra AD/MC=BD/BC => AD.BC=BD.MC (1) 
Từ cặp tam giác đồng dạng trên ta cũng có AB/BM = BD/BC => AB/BD = BM/BC mà ^ABM = ^DBC nên tam giác ABM ~ tam giác DBC. 
=> AB.CD=AM.BD (2) 
Cộng (1), (2) vế theo vế suy ra dpcm.

+Cm tứ giác BEDC nội tiếp:
-Xét tứ giác BEDC, ta có:
góc BEC= góc BDC
góc BEC và góc BDC cùng nhìn cạnh BC( cùng nhìn cạnh dưới một góc không đổi )
---> BEDC là tứ giác nội tiếp
+Cm góc EBC= góc ECD:
-Do tứ giác BEDC là tứ giác nội tiếp
mà góc EBD và góc ECD cùng nhìn cạnh ED
---> góc EBD= góc ECD(đpcm)
Chúc bạn học tốt nhé 

xét tam giác ABC nhọn nội tiếp (O;r) ta có BD là đường cao(giả thiết)

=> góc BDC =90 độ

lại có CE là đường cao của tam giác ABC(giả thiết)=>góc CEB=90 độ

=>góc BDC+góc CEB=90+90=180 độ

mà 2 góc này ở vị trí đối nhau=> tứ giác BEDC nội tiếp

=> góc EBD=Góc ECD (cùng chắn cung ED)