Cần chứng minh 

\(\overrightarrow{A_1B_1}=\overrightarrow{E_1D_1}\), \(_{ }\overrightarrow{B_1C_1}=\overrightarrow{F_1E_1}\), \(\overrightarrow{C_1D_1}=\overrightarrow{A_1F_1}\)

Ta có :

\(\overrightarrow{OA_1}=\frac{\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}}{3}\) ; \(\overrightarrow{OD_1}=\frac{\overrightarrow{OD}+\overrightarrow{OE}+\overrightarrow{OF}}{3}\) 

\(\overrightarrow{OB_1}=\frac{\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD}}{3}\) ; \(\overrightarrow{OE_1}=\frac{\overrightarrow{OE}+\overrightarrow{OF}+\overrightarrow{OA}}{3}\)

Từ đó suy ra :

\(\overrightarrow{A_1B_1}+\overrightarrow{OD_1}=\frac{\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD}+\overrightarrow{OE}+\overrightarrow{OF}}{3}=\overrightarrow{0B_1}+\overrightarrow{OE_1}\)

và do đó 

\(\overrightarrow{A_1B_1}=\overrightarrow{E_1D_1}\)

Tương tự ta cũng có \(\overrightarrow{B_1C_1}=\overrightarrow{F_1E_1}\) ,\(\overrightarrow{C_1D_1}=\overrightarrow{A_1F_1}\) => Điều phải chứng minh

a) Gọi \({B_1},{E_1}\) lần lượt là giao điểm của \(mp\left( {{A_1}{D_1},{F_1}{C_1}} \right)\) với \(BB',EE'\).

Ta có:

\(\left. \begin{array}{l}{A_1}{D_1}\parallel \left( {ABC{\rm{DEF}}} \right)\\{F_1}{C_1}\parallel \left( {ABC{\rm{DEF}}} \right)\\{A_1}{D_1},{F_1}{C_1} \subset mp\left( {{A_1}{D_1},{F_1}{C_1}} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow mp\left( {{A_1}{D_1},{F_1}{C_1}} \right)\parallel \left( {ABC{\rm{DEF}}} \right)\)

Vậy giao tuyến của \(mp\left( {{A_1}{D_1},{F_1}{C_1}} \right)\) với các mặt bên của lăng trụ là:

\(\begin{array}{l}mp\left( {{A_1}{D_1},{F_1}{C_1}} \right) \cap \left( {ABB'A'} \right) = {A_1}{B_1}\\mp\left( {{A_1}{D_1},{F_1}{C_1}} \right) \cap \left( {BCC'B'} \right) = {B_1}{C_1}\\mp\left( {{A_1}{D_1},{F_1}{C_1}} \right) \cap \left( {C{\rm{DD'C'}}} \right) = {C_1}{D_1}\\mp\left( {{A_1}{D_1},{F_1}{C_1}} \right) \cap \left( {DEE'D'} \right) = {D_1}{E_1}\\mp\left( {{A_1}{D_1},{F_1}{C_1}} \right) \cap \left( {EFF'E'} \right) = {E_1}{F_1}\\mp\left( {{A_1}{D_1},{F_1}{C_1}} \right) \cap \left( {AFF'A'} \right) = {A_1}{F_1}\end{array}\)

b) \(ABCDEF.A'B'C'D'E'F'\) là hình lăng trụ \( \Rightarrow CC' = AA' = 70\left( {cm} \right)\)

\(A'{A_1} = 6A{A_1} \Rightarrow A{A_1} = \frac{1}{7}AA' = 10\left( {cm} \right)\)

\(mp\left( {{A_1}{D_1},{F_1}{C_1}} \right)\parallel \left( {ABC{\rm{DEF}}} \right)\parallel \left( {A'B'C'{\rm{D'E'F'}}} \right)\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \frac{{C{C_1}}}{{CC'}} = \frac{{A{A_1}}}{{AA'}} \Leftrightarrow C{C_1} = \frac{{CC'.A{A_1}}}{{AA'}} = \frac{{70.10}}{{70}} = 10\left( {cm} \right)\\ \Rightarrow {C_1}C' = CC' - C{C_1} = 70 - 10 = 60\left( {cm} \right)\end{array}\)

Chọn C

Chọn B

Gọi G là trọng tâm tam giác MPR 

Ta cần đi chứng minh G cũng là trọng tâm của ΔNQS bằng cách chứng minh 

Thật vậy ta có:

(Vì N, Q, S lần lượt là trung điểm của BC, DE, FA)

(Vì M, P, R là trung điểm AB, CD, EF)

 hay G cũng là trọng tâm của ΔNQS.

Vậy trọng tâm ΔMPR và ΔNQS trùng nhau.