Cho tam giác ABC có các đường cao AI, BJ và CK cắt nhau tại H. Gọi M, N, P lần lượt là điểm đối xứng với H qua BC, CA, AB. Giá trị của \(\frac{AM}{AI}+\frac{BN}{BJ}+\frac{CP}{CK}\)là ........(Toán 8 nha)
A B C H M N P I J K
Những câu hỏi liên quan
Cho ΔABC có các đường cao AI, BJ và CK cắt nhau tại H. Gọi M, N, P lần lượt là điểm đối xứng với H qua BC, CA, AB. Tính \(\frac{AM}{AI}+\frac{BN}{BJ}+\frac{CP}{CK}\)
Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn. Các đường cao AM, BN, CK cắt nhau tại H. ( M inBC, NinAC, KinAB ). Gọi A , B , C lần lượt là điểm đối xứng với H qua BC , AC , AB. Chứng minh rằng:a) Tam giác BHK đồng dạng với tam giác CHNb) Tam giác KHN đồng dạng với tam giác BHCc) BH.BN + CN.CK BC^2d) frac{AA}{AM}+frac{BB}{BN}+frac{CC}{CK} có giá trị không đổiAi làm nhanh nhất mh cho 3 tick
Đọc tiếp
Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn. Các đường cao AM, BN, CK cắt nhau tại H. ( M \(\in\)BC, N\(\in\)AC, K\(\in\)AB ). Gọi A' , B' , C' lần lượt là điểm đối xứng với H qua BC , AC , AB. Chứng minh rằng:
a) Tam giác BHK đồng dạng với tam giác CHN
b) Tam giác KHN đồng dạng với tam giác BHC
c) BH.BN + CN.CK = BC^2
d) \(\frac{AA'}{AM}+\frac{BB'}{BN}+\frac{CC'}{CK}\) có giá trị không đổi
Ai làm nhanh nhất mh cho 3 tick
Cho tam giác ABC nhọn, có AD, BE và CF là các đường cao cắt nhau tại H. Biết N đối xứng H qua E, P đối xứng H qua F và M đối xứng H qua D. CMR: \(\frac{AM}{AD}+\frac{BN}{BE}+\frac{CP}{CF}=4\)
cho tam giác ABC có 3 gọc nhọn AB<AC các đường cao BE,CF cắt nhau tại H gọi M là trung điểm BC , K là điểm đối xứng với H qua M a,chứng minh tứ giác BHCK là hình bình hànhb, BKvuông góc với AB và CK vuông góc với ACc, gọi I là điểm đối xứng với H qua BC . chứng minh tứ giác BIKC LÀ hình thang când, Bk cắt HI ở G tam giác ABC phải cs thêm điều kiện gì để tứ giác GHCK là hình thang cân
a) Xét tứ giác BHCK có
M là trung điểm của đường chéo BC(gt)
M là trung điểm của đường chéo HK(H và K đối xứng nhau qua M)
Do đó: BHCK là hình bình hành(Dấu hiệu nhận biết hình bình hành)
b) Ta có: BHCK là hình bình hành(cmt)
nên BK//CH và BH//CK(Các cặp cạnh đối trong hình bình hành BHCK)
Ta có: BK//CH(cmt)
nên BK//CF
Ta có: BK//CF(cmt)
CF⊥AB(gt)
Do đó: BK⊥BA(Định lí 2 từ vuông góc tới song song)
Ta có: CK//BH(cmt)
nên CK//BE
Ta có: CK//BE(cmt)
BE⊥AC(gt)
Do đó: CK⊥AC(Định lí 2 từ vuông góc tới song song)
c) Vì H và I đối xứng nhau qua BC
nên BC là đường trung trực của HI
⇔C nằm trên đường trung trực của HI
hay CH=CI(Tính chất đường trung trực của một đoạn thẳng)(1)
Ta có: BHCK là hình bình hành(cmt)
nên CH=BK(Hai cạnh đối trong hình bình hành BHCK)(2)
Từ (1) và (2) suy ra CI=BK
Gọi O là giao điểm của BC và HI
mà BC là đường trung trực của HI
nên O là trung điểm của HI
Xét ΔHIK có
O là trung điểm của HI(cmt)
M là trung điểm của HK(H và K đối xứng nhau qua M)
Do đó: OM là đường trung bình của ΔHIK(Định nghĩa đường trung bình của tam giác)
⇒OM//IK(Định lí 2 về đường trung bình của tam giác)
hay IK//BC
Xét tứ giác BIKC có IK//BC(cmt)
nên BIKC là hình thang có hai đáy là IK và BC(Định nghĩa hình thang)
Hình thang BIKC(IK//BC) có IC=BK(cmt)
nên BIKC là hình thang cân(Dấu hiệu nhận biết hình thang cân)
Đúng 3
Bình luận (0)
a) Xét tứ giác BHCK có
M là trung điểm của đường chéo BC(gt)
M là trung điểm của đường chéo HK(H và K đối xứng nhau qua M)
Do đó: BHCK là hình bình hành(Dấu hiệu nhận biết hình bình hành)
b) Ta có: BHCK là hình bình hành(cmt)
nên BK//CH và BH//CK(Các cặp cạnh đối trong hình bình hành BHCK)
Ta có: BK//CH(cmt)
nên BK//CF
Ta có: BK//CF(cmt)
CF⊥AB(gt)
Do đó: BK⊥BA(Định lí 2 từ vuông góc tới song song)
Ta có: CK//BH(cmt)
nên CK//BE
Ta có: CK//BE(cmt)
BE⊥AC(gt)
Do đó: CK⊥AC(Định lí 2 từ vuông góc tới song song)
c) Vì H và I đối xứng nhau qua BC
nên BC là đường trung trực của HI
⇔C nằm trên đường trung trực của HI
hay CH=CI(Tính chất đường trung trực của một đoạn thẳng)(1)
Ta có: BHCK là hình bình hành(cmt)
nên CH=BK(Hai cạnh đối trong hình bình hành BHCK)(2)
Từ (1) và (2) suy ra CI=BK
Gọi O là giao điểm của BC và HI
mà BC là đường trung trực của HI
nên O là trung điểm của HI
Xét ΔHIK có
O là trung điểm của HI(cmt)
M là trung điểm của HK(H và K đối xứng nhau qua M)
Do đó: OM là đường trung bình của ΔHIK(Định nghĩa đường trung bình của tam giác)
⇒OM//IK(Định lí 2 về đường trung bình của tam giác)
hay IK//BC
Xét tứ giác BIKC có IK//BC(cmt)
nên BIKC là hình thang có hai đáy là IK và BC(Định nghĩa hình thang)
Hình thang BIKC(IK//BC) có IC=BK(cmt)
nên BIKC là hình thang cân(Dấu hiệu nhận biết hình thang cân)
Đúng 2
Bình luận (0)
Cho tam giác ABC có 3 đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H.Gọi M, N, S theo thứ tự là điểm đối xứng của H qua BC, CA, AB.
CMR \(\frac{AM}{AD}+\frac{BN}{BE}+\frac{CS}{CF}=4\)
Lời giải:
\(\frac{AM}{AD}+\frac{BN}{BE}+\frac{CS}{CF}=4\Leftrightarrow \frac{DM}{AD}+\frac{EN}{BE}+\frac{FS}{CF}=1\)
\(\Leftrightarrow \frac{HD}{AD}+\frac{EH}{BE}+\frac{HF}{CF}=1\) \((\star)\)
Gọi diện tích của các tam giác \(AFH, BFH, BHD, DHC, EHC, AEH\) lần lượt là \(a,b,c,d,e,f\)
Ta có :
\(\left\{\begin{matrix} \frac{DH}{AD}=\frac{S_{BHD}}{S_{BAD}}=\frac{S_{CHD}}{S_{ADC}}\\ \frac{EH}{BE}=\frac{S_{AEH}}{S_{ABE}}=\frac{S_{CHE}}{S_{EBC}}\\ \frac{HF}{CF}=\frac{S_{BFH}}{S_{BFC}}=\frac{S_{FAH}}{S_{FAC}}\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \frac{DH}{AD}=\frac{c}{a+b+c}=\frac{d}{e+f+d}=\frac{c+d}{a+b+c+d+e+f}\\ \frac{EH}{BE}=\frac{f}{a+b+f}=\frac{e}{e+c+d}=\frac{e+f}{a+b+c+d+e+f}\\ \frac{HF}{CF}=\frac{b}{b+c+d}=\frac{a}{a+f+e}=\frac{a+b}{a+b+c+d+e+f}\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow \frac{DH}{AD}+\frac{EH}{BE}+\frac{HF}{CF}=1\)
Ta có \((\star)\) nên phép cm hoàn tất.
Đúng 0
Bình luận (0)
Cho tam giác ABC có 3 đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H.Gọi M, N, S theo thứ tự là điểm đối xứng của H qua BC, CA, AB.
CMR \(\frac{AM}{AD}+\frac{BN}{BE}+\frac{CS}{CF}\)=4
Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Trên cạnh BC lấy điểm H di động. Qua H kẻ đường thẳng vuông góc với BC và cắt các đường thẳng AB và AC lần lượt tại I,K. Gọi E,F lần lượt là trung điểm của BI và CK. Gọi O là trung điểm của EF. Chứng minh: a) AB. CKHK. BCb) Tam giác AIH đồng dạng tam giác KIBc) H đối xứng với A qua Od) O di động trên đoạn thẳng cố định khi H di động trên BCAi giúp mình với
Đọc tiếp
Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Trên cạnh BC lấy điểm H di động. Qua H kẻ đường thẳng vuông góc với BC và cắt các đường thẳng AB và AC lần lượt tại I,K. Gọi E,F lần lượt là trung điểm của BI và CK. Gọi O là trung điểm của EF. Chứng minh:
a) AB. CK=HK. BC
b) Tam giác AIH đồng dạng tam giác KIB
c) H đối xứng với A qua O
d) O di động trên đoạn thẳng cố định khi H di động trên BC
Ai giúp mình với
Cho tam giác ABC nhọn có 3 đường cao AD,BE,CF đồng quy tại H. M,N,P lần lượt là các điểm đối xứng của H qua BC,AC và AB.Tính AM/AD+BN/BE+CP/CF
cho tam giác ABC đường cao AH . gọi C' là điểm đối xứng của H qua AB,B' là điểm đối xứng với H qua AC.Gọi các giao điểm của B'C' với AC và AB lần lượt tại I và K. CMR: BI,CK,AH đồng qui.