Tìm các nguyên hàm sau đây
a) \(I_1=\int e^{2x}\sin3xdx\)
b) \(I_2=\int e^{-x}\cos\frac{x}{2}dx\)
c) \(I_2=\int e^{3x}\cos\left(e^x\right)d\)
Tìm các nguyên hàm sau đây bằng các phép hữu tỉ hóa
a) \(I_1=\int\frac{e^{3x}}{e^2+2}dx\)
b) \(I_2=\int\frac{\sqrt{x}}{x+\sqrt[3]{x^2}}dx\)
c) \(I_1=\int\frac{1}{x^2-1}\left[\sqrt[3]{\left(\frac{x+1}{x-1}\right)^5}\right]dx\)
a) Dùng phương pháp hữu tỉ hóa "Nếu \(f\left(x\right)=R\left(e^x\right)\Rightarrow t=e^x\)" ta có \(e^x=t\Rightarrow x=\ln t,dx=\frac{dt}{t}\)
Khi đó \(I_1=\int\frac{t^3}{t+2}.\frac{dt}{t}=\int\frac{t^2}{t+2}dt=\int\left(t-2+\frac{4}{t+2}\right)dt\)
\(=\frac{1}{2}t^2-2t+4\ln\left(t+2\right)+C=\frac{1}{2}e^{2x}-2e^x+4\ln\left(e^x+2\right)+C\)
b) Hàm dưới dấu nguyên hàm
\(f\left(x\right)=\frac{\sqrt{x}}{x+\sqrt[3]{x^2}}=R\left(x;x^{\frac{1}{2}},x^{\frac{2}{3}}\right)\)
q=BCNN(2;3)=6
Ta thực hiện phép hữu tỉ hóa theo :
"Nếu \(f\left(x\right)=R\left(x:\left(ã+b\right);\left(ax+b\right)^{r2},....\right),r_k=\frac{P_k}{q_k}\in Q,k=1,2,...,m\Rightarrow t=\left(ax+b\right)^{\frac{1}{q}}\),q=BCNN \(\left(q_1,q_2,...,q_m\right)\)"
=> \(t=x^{\frac{1}{6}}\Rightarrow x=t^{6,}dx=6t^5dt\)
Khi đó nguyên hàm đã cho trở thành :
\(I_2=\int\frac{t^3}{t^6-t^4}6t^{5dt}=\int\frac{6t^4}{t^2-1}dt=6\int\left(t^2+1+\frac{1}{t^2-1}\right)dt\)
\(=6\int\left(t^2+1\right)dt+2\int\frac{dt}{\left(t-1\right)\left(t+1\right)}=2t^3+6t+3\int\frac{dt}{t-1}-3\int\frac{dt}{t+1}\)
\(=2t^2+6t+3\ln\left|t-1\right|-3\ln\left|t+1\right|+C=2\sqrt{x}+6\sqrt[6]{x}+3\ln\left|\frac{\sqrt[6]{x-1}}{\sqrt[6]{x+1}}\right|+C\)
c) Hàm dưới dấu nguyên hàm có dạng :
\(f\left(x\right)=R\left(x;\left(\frac{x+1}{x-1}\right)^{\frac{2}{3}};\left(\frac{x+1}{x-1}\right)^{\frac{5}{6}}\right)\)
q=BCNN (3;6)=6
Ta thực hiện phép hữu tỉ hóa được
\(t=\left(\frac{x+1}{x-1}\right)^{\frac{1}{6}}\Rightarrow x=\frac{t^6+1}{t^6-1},dx=\frac{-12t^5}{\left(t^6-1\right)^2}dt\)
Khi đó hàm dưới dấu nguyên hàm trở thành
\(R\left(t\right)=\frac{1}{\left(\frac{t^6+1}{t^6-1}\right)^2-1}\left[t^4-t^5\right]=\frac{\left(t^6-1\right)^2}{4t^6}\left(t^4-t^5\right)\)
Do đó :
\(I_3=\int\frac{\left(t^6-1\right)^2}{4t^6}\left(t^4-t^5\right).\frac{-12t^5}{\left(t^6-1\right)}dt=3\int\left(t^4-t^3\right)dt\)
\(=\frac{5}{3}t^5-\frac{3}{4}t^4+C=\frac{3}{5}\sqrt[6]{\left(\frac{x+1}{x-1}\right)^5}-\frac{3}{4}\sqrt[3]{\left(\frac{x+1}{x-1}\right)^2}+C\)
Tìm các nguyên hàm sau bằng phương pháp lấy nguyên hàm từng phần
a) \(I_1=\int x^22^xdx\)
b) \(I_2=\int x^2e^{3x}dx\)
c) \(I_3=\int e^{3x}\left(x^2-6x+2\right)dx\)
a) Đặt \(u=x^2\); \(dv=2^xdx\). Khi đó \(du=2xdx\) ; \(v=\int2^xdx=\frac{2^x}{\ln2}\) và \(I_1=x^2\frac{2^x}{\ln2}-\frac{2}{\ln2}\int x2^xdx\)
Lại áp dụng phép lấy nguyên hàm từng phần cho tích phân ở vế phải bằng cách đặt :
\(u=x\) ; \(dv=2^xdx\) và thu được \(du=dx\) ; \(v=\frac{2^x}{\ln2}\) Do đó
\(I_1=x^2\frac{2^x}{\ln_{ }2}-\frac{2}{\ln2}\left[x\frac{2^x}{\ln2}-\frac{1}{\ln2}\int2^xdx\right]\)
= \(x^2\frac{2^x}{\ln_{ }2}-\frac{2}{\ln2}\left[x\frac{2^x}{\ln2}-\frac{2^x}{\ln^22}\right]+C\) = \(\left(x^2-\frac{2}{\ln2}x+\frac{2}{\ln^22}\right)\frac{2^x}{\ln2}+C\)
b) Đặt \(u=x^2\); \(dv=e^{3x}dx\)
Khi đó \(du=2xdx\) ; \(v=\int e^{3x}dx=\frac{1}{3}\int e^{3x}d\left(3x\right)=\frac{1}{3}e^{ex}\)
Do đó:
\(I_2=\frac{x^2}{3}e^{3x}-\frac{1}{3}\int xe^{3x}dx\) (a)
Lại áp dụng phép lấy nguyên hàm từng phần cho nguyên hàm ở vế phải. Ta đặt \(u=x\) ; \(dv=e^{3x}dx\)
Khi đó \(du=dx\) ; \(v=\int e^{3x}dx=\frac{1}{3}e^{3x}\) và
\(\int xe^{ex}dx=\frac{x}{3}e^{3x}-\frac{1}{3}\int e^{3x}dx=\frac{x}{3}e^{3x}-\frac{1}{9}e^{3x}\)
Thế kết quả thu được vào (a) ta có :
\(I_2=\frac{x^2}{3}e^{3x}-\frac{2}{3}\left(\frac{x}{3}e^{3x}-\frac{1}{9}e^{3x}\right)+C=\frac{e^{3x}}{27}\left(9x^2-6x+2\right)+C\)
c) Đặt \(u=x^2-6x+2\); \(dv=e^{3x}dx\)
Khi đó \(du=\left(2x-6\right)dx\) ; \(v=\int e^{3x}dx=\frac{1}{3}e^{3x}\)
Do đó :
\(I_3=\frac{e^{3x}}{3}\left(x^2-6x+2\right)-\frac{2}{3}\int e^{3x}\left(x-3\right)dx\)
Đặt \(\int e^{3x}\left(x-3\right)dx=I'_3\)
Ta có \(\frac{e^{3x}}{3}\left(x^2-6x+2\right)-\frac{2}{3}I'_3\)(a)
Ta lại áp dụng phương pháp lấy nguyên hàm từng phần cho \(\int e^{3x}\left(x-3\right)dx\).
Đặt \(u=x-3\) ; \(dv=e^{3x}dx\)
Khi đó \(du=dx\); \(v=\int e^{3x}dx=\frac{e^{3x}}{3}\)
Vậy \(I'_3=\frac{e^{3x}}{3}\left(x-3\right)-\frac{1}{3}\int e^{3x}dx=\frac{e^{3x}}{3}\left(x-3\right)-\frac{1}{9}e^{3x}\)
Thế \(I'_3\) vào (a) ta thu được
\(I_3=e^{3x}\left(\frac{x^2}{3}-\frac{20}{9}x+\frac{38}{27}\right)+C\)
Tìm các nguyên hàm sau :
a) \(I_1=\int\frac{\sqrt{1+\ln x}}{x}dx\)
b) \(I_2=\int\frac{e^{2x}}{\sqrt[4]{e^x+1}}dx\)
c) \(I_3=\int x^2e^{x^3+6}dx\)
a) Đặt \(1+\ln x=t\) khi đó \(\frac{dx}{x}=dt\) và do đó
\(I_1=\int\sqrt{t}dt=\frac{2}{3}t^{\frac{3}{2}}+C=\frac{2}{3}\sqrt{\left(1+\ln x\right)^3}+C\)
b) Đặt \(\sqrt[4]{e^x+1}=t\) khi đó \(e^x+1=t^4\Rightarrow e^x=t^4-1\) và \(e^xdx=4t^3dt\) , \(e^{2x}dx=e^x.e^xdx=\left(t^4-1\right)4t^3dt\)
Do đó :
\(I_2=4\int\frac{t^3\left(t^4-1\right)}{t}dt=4\int\left(t^6-t^2\right)dt=4\left[\frac{t^7}{7}-\frac{t^3}{3}\right]+C\)
\(=4\left[\frac{1}{7}\sqrt[4]{\left(e^x+1\right)^7}-\frac{1}{3}\sqrt[4]{\left(e^x+1\right)^3}\right]+C\)
c) Lưu ý rằng \(x^2dx=\frac{1}{3}d\left(x^3+C\right)\) do đó :
\(I_3=\int x^2e^{x^{3+6}dx}=\frac{1}{3}\int e^{x^{3+6}}d\left(x^3+6\right)=\frac{1}{3}e^{x^{3+6}}+C\)
Tìm các nguyên hàm sau:
a) \(I_1=\int\frac{\left(x^2+3\right)dx}{\sqrt{\left(2x-5\right)^3}}\)
b)\(I_2=\int\frac{dx}{\left(3x-1\right)\ln\left(3x-1\right)}\)
c) \(I_3=\int\frac{\left(x^2+1\right)dx}{\sqrt{x^6-7x^4+x^2}}\)
a) Đặt \(\sqrt{2x-5}=t\) khi đó \(x=\frac{t^2+5}{2}\) , \(dx=tdt\)
Do vậy \(I_1=\int\frac{\frac{1}{4}\left(t^2+5\right)^2+3}{t^3}dt=\frac{1}{4}\int\frac{\left(t^4+10t^2+37\right)t}{t^3}dt\)
\(=\frac{1}{4}\int\left(t^2+10+\frac{37}{t^2}\right)dt=\frac{1}{4}\left(\frac{t^3}{3}+10t-\frac{37}{t}\right)+C\)
Trở về biến x, thu được :
\(I_1=\frac{1}{12}\sqrt{\left(2x-5\right)^3}+\frac{5}{2}\sqrt{2x-5}-\frac{37}{4\sqrt{2x-5}}+C\)
b) \(I_2=\frac{1}{3}\int\frac{d\left(\ln\left(3x-1\right)\right)}{\ln\left(3x-1\right)}=\frac{1}{3}\ln\left|\ln\left(3x-1\right)\right|+C\)
c) \(I_3=\int\frac{1+\frac{1}{x^2}}{\sqrt{x^2-7+\frac{1}{x^2}}}dx=\int\frac{d\left(x-\frac{1}{x}\right)}{\sqrt{\left(x-\frac{1}{2}\right)^2-5}}\)
Đặt \(x-\frac{1}{x}=t\)
\(\Rightarrow\) \(I_3=\int\frac{dt}{\sqrt{t^2-5}}=\ln\left|t+\sqrt{t^2-5}\right|+C\)
\(=\ln\left|x-\frac{1}{x}+\sqrt{x^2-7+\frac{1}{x^2}}\right|+C\)
Tính các nguyên hàm sau đây :
a) \(\int\left(x+\ln x\right)x^2dx\)
b) \(\int\left(x+\sin^2x\right)\sin xdx\)
c) \(\int\left(x+e^x\right)e^{2x}dx\)
d) \(\int\left(x+\sin x\right)\dfrac{dx}{\cos^2x}\)
e) \(\int\dfrac{e^x\cos x+\left(e^x+1\right)\sin x}{e^x\sin x}dx\)
a) \(\int\left(x+\ln x\right)x^2\text{d}x=\int x^3\text{d}x+\int x^2\ln x\text{dx}\)
\(=\dfrac{x^4}{4}+\int x^2\ln x\text{dx}+C\) (*)
Để tính: \(\int x^2\ln x\text{dx}\) ta sử dụng công thức tính tích phân từng phần như sau:
Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}u=\ln x\\v'=x^2\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}u'=\dfrac{1}{x}\\v=\dfrac{1}{3}x^3\end{matrix}\right.\)
Suy ra:
\(\int x^2\ln x\text{dx}=\dfrac{1}{3}x^3\ln x-\dfrac{1}{3}\int x^2\text{dx}\)
\(=\dfrac{1}{3}x^3\ln x-\dfrac{1}{3}.\dfrac{1}{3}x^3\)
Thay vào (*) ta tính được nguyên hàm của hàm số đã cho bằng:
(*) \(=\dfrac{1}{3}x^3-\dfrac{1}{3}x^3\ln x+\dfrac{1}{9}x^3+C\)
\(=\dfrac{4}{9}x^3-\dfrac{1}{3}x^3\ln x+C\)
b) Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}u=x+\sin^2x\\v'=\sin x\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}u'=1+2\sin x.\cos x\\v=-\cos x\end{matrix}\right.\)
Ta có:
\(\int\left(x+\sin^2x\right)\sin x\text{dx}=-\left(x+\sin^2x\right)\cos x+\int\left(1+2\sin x\cos^2x\right)\text{dx}\)
\(=-\left(x+\sin^2x\right)\cos x+\int\cos x\text{dx}+2\int\sin x.\cos^2x\text{dx}\)
\(=-\left(x+\sin^2x\right)\cos x+\sin x-2\int\cos^2x.d\left(\cos x\right)\)
\(=-\left(x+\sin^2x\right)\cos x+\sin x-2\dfrac{\cos^3x}{3}+C\)
c) Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}u=x+e^x\\v'=e^{2x}\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}u'=1+e^x\\v=\dfrac{1}{2}e^{2x}\end{matrix}\right.\)
Ta có:
\(\int\left(x+e^x\right)e^{2x}\text{dx}=\dfrac{1}{2}\left(x+e^x\right)e^{2x}-\dfrac{1}{2}\int\left(1+e^x\right)e^{2x}\text{dx}\)
\(=\dfrac{1}{2}\left(x+e^x\right)e^{2x}-\dfrac{1}{2}\int e^{2x}\text{dx}-\dfrac{1}{2}\int e^{3x}\text{dx}\)
\(=\dfrac{1}{2}\left(x+e^x\right)e^{2x}-\dfrac{1}{2}.\dfrac{1}{2}e^{2x}-\dfrac{1}{2}.\dfrac{1}{3}e^{3x}\)
\(=\dfrac{1}{2}xe^{2x}-\dfrac{1}{4}e^{2x}+\dfrac{1}{3}e^{3x}\)
Tính các nguyên hàm sau :
a) \(I_1=\int\sin\left(\ln x\right)dx\)
b) \(I_2=\int\left(x^2-2x+3\right)\sin2xdx\)
Tìm các nguyên hàm sau :
a)\(I_1=\int\left(1+\sqrt{x}\right)^{10}dx\)
b) \(I_2=\int\frac{xdx}{\sqrt[3]{x^2+a}}\)
c) \(I_3=\int\frac{x^2}{\sqrt{x^6+6}}\)
a) Ta thực hiện phép đổi biến :
\(1+\sqrt{x}=t\) ; \(x=\left(t-1\right)^2\) ; \(dx=2\left(t-1\right)dt\)
Khi đó \(\left(1+\sqrt{x}\right)^{10}dx=t^{10}.2\left(t-1\right)dt\)
tức là :
\(I_1=2\int\left(t^{11}-t^{10}\right)dt=2\int t^{11}dt-2\int t^{10}dt=2\left(\frac{t^{12}}{12}-\frac{t^{11}}{11}\right)+C\)
\(=\frac{1}{66}t^{11}\left(11t-12\right)+c\)
\(=\frac{1}{66}\left(1+\sqrt{x}\right)^{11}\left[11\sqrt{x}-1\right]+C\)
b) Đặt \(x^2+a=t\)
Ta có \(2xdx=dt\)
\(I_2=\frac{1}{2}\int\frac{dt}{\sqrt[3]{t}}=\frac{1}{2}\int t^{-\frac{1}{3}}dt=\frac{1}{2}.\frac{3}{2}t^{\frac{2}{3}}+C=\frac{3}{4}\sqrt[3]{\left(x^2+a\right)^2+C}\)
c) Đặt \(x^3=t\Rightarrow3x^2dx=dt\)
và \(I_3=\frac{1}{3}\int\frac{dt}{\sqrt{t^2+6}}=\frac{1}{3}\ln\left[t+\sqrt{t^2+6}\right]+C\)
\(=\frac{1}{3}\ln\left[x^2+\sqrt{x^2+6}\right]+C\)
Tìm các nguyên hàm sau :
a) \(I_1=\int\log_2\left(1-3x\right)dx\)
b) \(I_2=\int\left(2x-3\right)\left(\ln x\right)^2dx\)
c)\(I_3=\int\left(4x^2+6x-7\right)\ln xdx\)
d) \(I_4=\int\left(x^2-2x+3\right)a^xdx\) 0<a, \(a\ne1\)
a) Để ý đến công thức đổi cơ số logarit \(\log_2\left(1-3x\right)=\frac{1}{\ln2}\ln\left(1-3x\right)\)
Ta viết nguyên hàm đã cho dưới dạng \(I_1=\frac{1}{\ln2}\int\ln\left(1-3x\right)dx\)
Đặt \(u=\ln\left(1-3x\right)\) , \(dv=dx\)
Khi đó \(du=\frac{-3}{1-3x}dx\), \(v=x\)
Do đó :
\(I_1=\frac{1}{\ln2}\left[x\ln\left(1-3x\right)+3\int\frac{x}{1-3x}dx\right]\)
\(=\frac{1}{\ln2}\left[x\ln\left(1-3x\right)+3\int\frac{1}{3}\left(-1+\frac{1}{1-3x}\right)dx\right]\)
\(=\frac{1}{\ln2}\left[x\ln\left(1-3x\right)-\int dx+\frac{dx}{1-3x}\right]\)
\(=\frac{1}{\ln2}\left[\left(x-\frac{1}{3}\right)\ln\left(1-3x\right)-x\right]+C\)
b) Đặt \(u=\left(\ln x\right)^2\) , \(dv=\left(2x-3\right)dx\)
Khi đó \(du=2\ln x\frac{dx}{x}\) , \(v=x^2-3x\)
Do đó
\(I_2=\left(x^2-3x\right)\left(\ln x\right)^2-2\int\left(x-3\right)\ln xdx\)
\(\int\left(x-3\right)\ln xdx=I_2\)
Ta tính \(I_2\) Ta tìm nguyên hàm bằng cách lấy nguyên hàm từng phàn một làn nữa và thu được.
\(I_2=\left(\frac{1}{2}x^2-3x\right)\ln x-\int\left(\frac{1}{2}x-3\right)dx=\frac{1}{2}\left(x^2-6x\right)\ln x-\frac{1}{4}x^2+3x\)
Từ đó suy ra \(I_2=\left(x^2-3x\right)\left(\ln x\right)^2-\left(x^2-6x\right)\ln x+\frac{1}{2}x^2-6x+C\)
c) Đặt \(u=\ln x\) , \(dv=\left(4x^2+6x-7\right)dx\)
khi đó \(du=\frac{dx}{x}\) , \(v=\int\left(4x^2+6x-7\right)dx=x^4+3x^2-7x\)
Do đó
\(I_3=\left(x^4+3x^2-7x\right)\ln x-\int\frac{x^4+3x^2-7x}{x}dx\)
\(=\left(x^4+3x^2-7x\right)\ln x-\left(\frac{x^4}{4}+\frac{3x^2}{2}-7x\right)+C\)
d) Đặt \(u=x^2-2x+3,a^xdx=dv\). Khi đó \(du=\left(2x-2\right)dx,v=\int a^xdx=\frac{a^x}{\ln a}\)
Do vậy \(I_4=\frac{\left(x^2-2x+3\right)a^x}{\ln a}-\frac{1}{\ln a}\int\left(2x-2\right)a^xdx\)
\(\int\left(2x-2\right)a^xdx=I_4\)*
Ta tính \(I_4\)* bằng cách lấy nguyên hàm từng phần một lần nữa. Ta có :
\(I_4\)*\(=\int\left(2x-2\right)a^xdx=\frac{\left(2x-2\right)a^x}{\ln a}-\frac{1}{\ln a}\int2a^xdx\)
\(=\frac{\left(2x-2\right)a^x}{\ln a}-\frac{2a^x}{\left(\ln a\right)^2}\)
Từ đó suy ra \(I_4=\left[\frac{x^2-2x+3}{\ln a}-\frac{2x-2}{\left(\ln a\right)^2}+\frac{2}{\left(\ln a\right)^3}\right]a^x+C\)
Tìm nguyên hàm sau:
$\displaystyle\int
\left(3x^2 - \frac{4}{x} + \sin3x - \cos4x + e^{2x+1} + 3^{2x-2} + 3\sqrt{x^4} + \frac{1}{\cos^2x} - \frac{1}{\sin^2x}\right) dx$
\(=\int\left(6x^2-\dfrac{4}{x}+sin3x-cos4x+e^{2x+1}+9^{x-1}+\dfrac{1}{cos^2x}-\dfrac{1}{sin^2x}\right)dx\)
\(=2x^3-4ln\left|x\right|-\dfrac{1}{3}cos3x-\dfrac{1}{4}sin4x+\dfrac{1}{2}e^{2x+1}+\dfrac{9^{x-1}}{ln9}+tanx+cotx+C\)