CMR: Nếu a,b,c là các số nguyên lẻ thì phương trình : ax2 + bx + c = 0 không thể có nghiệm là số hữu tỷ
Cho phương trình \(ax^2+bx+c=0\) có các hệ số a, b, c là các số nguyên lẻ. Chứng minh rằng nếu phương trình có nghiệm thì các nghiệm ấy không thể là số hữu tỉ.
BÀI TOÁN PHỤ: CHứng minh rằng số chính phương lẻ chia cho 8 dư 1.
Giải: Xét số chính phương lẻ là \(m^2\left(m\in Z\right)\)
Như vậy m là số lẻ, đặt \(m=2n+1\)
Ta có:
\(m^2=\left(2n+1\right)^2=4n^2+4n+1=4.n.\left(n+1\right)+1\)
Vì n(n+1) là tích 2 số nguyên liên tiếp nên chia hết cho 2
\(\Rightarrow4n\left(n+1\right) \) chia hết cho 8
\(\Rightarrow4.n.\left(n+1\right)+1\) chia 8 dư 1
Vậy ta có điều phải chứng minh.
Vì a lẻ nên \(a\ne0\), phương trình \(ax^2+bx+c=0\) là phương trình bậc hai.
Xét \(\Delta=b^2-4ac\): b lẻ, theo bài toán phụ có \(b^2=8k+1\left(k\in Z\right)\)
a,c lẻ \(\Rightarrow\) \(ac\) lẻ
Đặt \(ac=2l-1\left(l\in Z\right)\)
Do đó \(\Delta=b^2-4ac=8k+1-4.\left(2l-1\right)=8k+1-8l+4=8\left(k-l\right)+5 \)chia cho 8 dư 5, theo bài toán phụ trên ta có \(\Delta\) không phải số chính phương.
\(\Delta\) là số nguyên, không phải óố chính phương \(\Rightarrow\sqrt{\Delta}\) là số vô tỉ
Nghiệm của phương trình đã cho (nếu có) là: \(x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}\)
b,a\(\in Z\), \(\sqrt{\Delta}\) vô tỉ nên x là vô tỉ.
Vậy phương trình có nghiệm nếu có thì các nghiệm ấy không thể là số hữu tỉ.
ơng là phươngax2+bx+c=0
Bài này có sự liên quan giữa các số lẻ a;b;c không? ( không = khó )
ax^2 +bx +c = 0 (*)
(*) có nghiệm hữa tỷ <=> Δ = b^2 - 4ac là số chính phương lẻ
(vì 4ac chẵn và b lẻ)
Δ là số chính phương lẻ nên Δ chia 8 dư 1 (*)
với a, b , c là số nguyên lẻ nên có dạng:
a = 2m + 1; b = 2n +1; c = 2p + 1 ( m,n,p là số nguyên)
=> Δ = (2n +1)^2 - 4(2m+1)(2p+1)
= 4n^2 + 4n + 1 - 4(4mp + 2m + 2p + 1)
= 4n(n+1) - 8(mp + m + p) - 3 = 4n(n+1) - 8(mp + m + p) - 8 + 5
vì 4n(n+1) - 8(mp + m + p) - 8 chia hết cho 8 => Δ chia 8 dư 5 mâu thuẩn với (*)
=> đpcm.
-------------------------
chứng minh (*):
A = (2k+1)^2 = 4k^2 + 4k + 1 = 4k(k + 1) + 1
k(k + 1) là tích 2 số nguyên liêu tiếp chia hết cho 2
=> 4k(k + 1) chia hết cho 8
=> A chia 8 dư 1
cho đa thức P(x)=ax2+bx+c với a,b,c là các số nguyên và P(0),P(1)là các số lẻ . CMR P(x) không thể có nghiệm là số nguyên
Cho phương trình ax2+bx+c=0 và a,b,c là các số nguyên lẻ. Chúng minh rằng nếu phương trình đó có nghiệm thì ngiệm đó không thể là số nguyên
chờ a,b,c là các số nguyên lẻ cm: ax2+ bx + c=0 không có nghiệm là số hữu tỷ
Giả sử 1 + 2 i 1 - i là một nghiệm ( phức ) của phương trình a x 2 + b x + c = 0 trong đó a, b, c là các số nguyên dương. Thế thì a + b + c nhỏ nhất bằng
A. 8
B. 9
C. 10
D. 11
Chọn B.
Đặt
Điều này chứng tỏ z là một nghiệm (phức) của phương trình 2 x 2 + 2 x + 5 = 0
Từ đó suy ra
cho phương trình \(^{x^2}\)+ax+b=0
CMR nếu a,b là các số nguyên lẻ thì phương trình đã cho không có nghiệm nguyên
Để phương trình đã cho có nghiệm nguyên thì
\(\Delta=a^2-4b\) phải là số chính phương lẻ.
\(\Rightarrow\Delta:8\)dư 1 (1)
Theo đề bài thì a, b lẻ nên ta đặt
\(\hept{\begin{cases}a=2m+1\\b=2n+1\end{cases}}\)
\(\Rightarrow\Delta=\left(2m+1\right)^2-4\left(2n+1\right)\)
\(=-8n+4m^2+4m-3\)
\(=-8n+4m\left(m+1\right)+8-5\)
\(\Rightarrow\Delta:8\) dư 5 (2)
Ta thấy (1) và (2) mâu thuẫn nhau nên nếu a, b lẻ thì phương trình không có nghiệm nguyên.
Sửa cái cuối thành - 8 + 5 nhé. M bấm nhầm
cho đa thức p(x)=ax^3+bx^2+cx+d với a,b,c,d là các số nguyên biết P(0) vàP(1) là các số lẻ cmr P(x) không thể có nghiệm nguyên
Gọi nghiệm nguyên của P(x) là: k
ta có: \(ak^3+bk^2+ck+d=0\)
\(k.\left(ak^2+bk+k\right)=-d\)( *)
ta có: \(P_{\left(1\right)}=a+b+c+d\)
\(P_{\left(0\right)}=d\)
mà P(1); P(0) là các số lẻ
=> a+b+c+d và d là các số lẻ
mà d là số lẻ
=> a+b+c là số chẵn
Từ (*) => k thuộc Ư(d)
mà d là số lẻ
=> k là số lẻ
=> \(k^3-1;k^2-1;k-1\)là các số chẵn
\(\Rightarrow a\left(k^3-1\right)+b\left(k^2-1\right)+c\left(k-1\right)\) là số chẵn
\(=\left(ak^3+bk^2+ck\right)-\left(a+b+c\right)\)
mà a+b+c là số chẵn
\(\Rightarrow ak^3+bk^2+c\) là số chẵn
Từ (*) => d là số chẵn ( vì d là số lẻ)
=> P(x) không thể có nghiệm nguyên
Cho \(f\left(x\right)=ax^2+bx+c\) với a,b,c là các số nguyên và \(a\ne0\). Biết f(0) và f(1) là các số lẻ, chứng minh phương trình f(x)=0 không có nghiệm là số nguyên
Chứng tỏ rằng nếu phương trình a x 2 + b x + c = 0 có nghiệm là x 1 v à x 2 thì tam thức a x 2 + b x + c phân tích được thành nhân tử như sau:
a x 2 + b x + c = a ( x - x 1 ) ( x - x 2 )
Áp dụng : phân tích đa thức thành nhân tử.
a ) 2 x 2 - 5 x + 3 ; b ) 3 x 2 + 8 x + 2
* Chứng minh:
Phương trình a x 2 + b x + c = 0 có hai nghiệm x 1 ; x 2
⇒ Theo định lý Vi-et:
Khi đó : a.(x – x1).(x – x2)
= a.(x2 – x1.x – x2.x + x1.x2)
= a.x2 – a.x.(x1 + x2) + a.x1.x2
=
= a . x 2 + b x + c ( đ p c m ) .
* Áp dụng:
a) 2 x 2 – 5 x + 3 = 0
Có a = 2; b = -5; c = 3
⇒ a + b + c = 2 – 5 + 3 = 0
⇒ Phương trình có hai nghiệm
Vậy:
b) 3 x 2 + 8 x + 2 = 0
Có a = 3; b' = 4; c = 2
⇒ Δ ’ = 4 2 – 2 . 3 = 10 > 0
⇒ Phương trình có hai nghiệm phân biệt: