Xét tứ giác QPCM có

A là trung điểm chung của QC và PM

=>QPCM là hình bình hành

=>PQ//BC

Xét ΔABC có

BE,CF là đường cao

BE cắt CF tại H

=>H là trực tâm

=>AH vuông góc BC

=>AH vuông góc PQ

b: góc HID+góc HKD=180 độ

=>HIDK nội tiếp

=>góc HIK=góc HDK

=>góc HIK=góc HCB

=>góc HIK=góc HEF

=>EF//IK

a) Xét \(\Delta EBC\)có \(\hept{\begin{cases}BE\perp AC\\DM\perp AC\end{cases}\Rightarrow}\)DM//EB => \(\frac{MC}{CE}=\frac{CD}{CB}\left(1\right)\)

Xét \(\Delta\)CFB có: \(\hept{\begin{cases}ND\perp FC\\BF\perp FC\end{cases}\Rightarrow}\)ND//BF => \(\frac{NC}{FC}=\frac{CD}{CB}\left(2\right)\)

Từ (1)(2) => \(\frac{MC}{CE}=\frac{NC}{FC}\Rightarrow MC\cdot FC=CE\cdot NC\left(đpcm\right)\)

b) Xét tam giác FBC có:\(\hept{\begin{cases}QD\perp FB\\FC\perp FB\end{cases}\Rightarrow}\)QD//FC => \(\frac{QF}{FB}=\frac{DC}{BD}\)

mà \(\frac{DC}{BD}=\frac{MC}{CE}=\frac{NC}{FC}\Rightarrow\frac{QF}{FB}=\frac{MC}{CE}=\frac{NC}{FC}\)hay \(\frac{QF}{FB}=\frac{NC}{CF}=\frac{MC}{CE}\)

=> Q,N,M thẳng hàng mà \(\frac{NC}{CF}=\frac{MC}{CE}\)=> MN//EF => QM//EF (đpcm)

c) Xét tam giác BEC có \(\hept{\begin{cases}PD\perp BE\\CE\perp BE\end{cases}}\)=> PD//EC => \(\frac{PE}{EB}=\frac{DC}{BC}\)

mà \(\frac{DC}{CB}=\frac{NK}{CF}=\frac{MC}{CE}=\frac{QF}{FB}\)

=> M,N,Q thẳng hàng (đpcm)

Xét ΔABC có AD là phân giác

nên BD/AB=CD/AC

=>BD/2=CD/3=(BD+CD)/(2+3)=15/5=3

=>BD=6cm và CD=9cm

Xét ΔBAD có BI là phân giác

nên AI/ID=AB/BD=2

=>AI/AD=2/3=AG/AM

=>IG//BC

Xét ΔABC có AD là phân giác

nên BD/AB=CD/AC

=>BD/2=CD/3=(BD+CD)/(2+3)=15/5=3

=>BD=6cm và CD=9cm

Xét ΔBAD có BI là phân giác

nên AI/ID=AB/BD=2

=>AI/AD=2/3=AG/AM

=>IG//BC

Vì FI vuông góc với AC, BE vuông góc với AC nên FI song song với EQ

suy ra\(\frac{AI}{IE}=\frac{AF}{FB}\)(1)

Vì FJ vuông góc với AD, BC vuông góc với AD nên JI song song với BC

suy ra \(\frac{AF}{FB}=\frac{AJ}{JD}\)(2)

Từ (1) và (2) suy ra \(\frac{AI}{IE}=\frac{AJ}{JD}\)suy ra IJ song song với ED  (a)

VÌ IF vuông góc với AC, FQ vuông góc với AC nên IF song song với FQ

suy ra\(\frac{IE}{EC}=\frac{FH}{HC}\) (3)

VÌ FK vuông góc với BC,AD vuông góc với BC nên FK song song với AD

suy ra \(\frac{KD}{KC}=\frac{KH}{HC}\)(4)

Từ (3) và (4) suy ra \(\frac{IE}{EC}=\frac{KD}{KC}\)suy ra IK song song với ED  (b)

Vì FK song song với AD(cmt) nên\(\frac{AF}{FB}=\frac{KD}{BK}\)(5)

Vì FQ vuông góc với EB,AC  vuông góc với EB nên FQ song song với EI

suy ra \(\frac{AF}{FB}=\frac{QE}{BQ}\)(6)

Từ (5) và (6) suy ra \(\frac{BQ}{QE}=\frac{BK}{KD}\) suy ra QK song song với ED  (c)

Từ (a), (b) và (c) suy ra I,J,Q,K thẳng hàng 

làm tắt đó nha Huyền Trang (Lì)

chờ làm cho ra thì ta cũng biết rồi