Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có:

\(\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)\ge2\sqrt{xy}\cdot2\sqrt{yz}\cdot2\sqrt{zx}\)

\(=8\sqrt{x^2y^2z^2}=8xyz\)

Dấu = khi x=y=z

Áp dụng BĐT Cauchy cho 2 số không âm:

\(x+y\ge2\sqrt{xy};y+z\ge2\sqrt{yz};x+z\ge2\sqrt{xz}\);

\(\Rightarrow\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(x+z\right)\ge8\sqrt{\left(xyz\right)^2}=8xyz\)

(Dấu "="\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=y\\y=z\\x=z\end{cases}}\Leftrightarrow x=y=z\left(đpcm\right)\))

Áp dụng BĐT AM - GM ta có: \(\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)\ge2\sqrt{xy}.2\sqrt{yz}.2\sqrt{zx}=8xyz\).

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = y = z.

Vậy x = y = z.

x+y>=2 căn xy

y+z>=2 căn yz

x+z>=2 căn xz

=>(x+y)(y+z)(x+z)>=8xyz

Áp dụng BĐT Cô - si : a + b ≥ 2\(\sqrt{ab}\)

=> x + y ≥ \(2\sqrt{xy}\) ( 1 )

y + z ≥ \(2\sqrt{yz}\) ( 2 )

x + z ≥ 2\(\sqrt{xz}\) ( 3 )

Nhân tưng vế của ( 1 , 2 , 3) , ta được :

( x + y )( y + z)( z + x ) ≥ \(2\sqrt{xy}\) . \(2\sqrt{yz}\) .2 \(\sqrt{xz}\)

<=> ( x + y )( y + z)( z + x ) ≥ 8 xyz

ta có (x+y)² ≥ 4xy

(y+z)²≥ 4yz

(x+z)²≥4xz

nhân từng vế của bđt trên ta được

(x+y)² (y+z)² (x+z)² ≥ 64 x²y²z²

=> [(x+y)(y+z)(x+z)]²≥ (8xyz)²

=>(x+y)(y+z)(x+z)≥ 8xyz(đpcm)

Ta có:

\(\left(1-x\right)\left(1-y\right)\left(1-z\right)=\left(x+y+z-x\right)\left(x+y+z-y\right)\left(x+y+z-z\right)=\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)\)

Áp dụng BĐT Cosi ta có :

\(\left\{{}\begin{matrix}x+y\ge2\sqrt{xy}\\y+z\ge2\sqrt{yz}\\z+x\ge2\sqrt{zx}\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)\ge8xyz\) (ĐPCM)

Dấu bằng xảy ra khi : x=y=z