a: vecto AB=(6;-4)

PTTS là:

x=-6+6t và y=3-4t

b: Vì (d) vuông góc AB nên (d) có VTPT là (3;-2)

Phương trình(d) là:

3(x-3)+(-2)(y-2)=0

=>3x-9-2y+4=0

=>3x-2y-5=0

a) Để tìm phương trình đường tròn © có tâm I(2,3) đi qua điểm A(5,7), ta sử dụng công thức khoảng cách từ điểm đến tâm đường tròn:

$I\hat{A} = \sqrt{(x_A - x_I)^2 + (y_A - y_I)^2}$

Với I là tâm đường tròn, A là điểm trên đường tròn.

Ta có: $x_I = 2$, $y_I = 3$, $x_A = 5$, $y_A = 7$

Thay vào công thức ta được:

$\sqrt{(5-2)^2 + (7-3)^2} = \sqrt{34}$

Vậy bán kính của đường tròn là $\sqrt{34}$.

Phương trình đường tròn © có tâm I(2,3) và bán kính $\sqrt{34}$ là:

$(x-2)^2 + (y-3)^2 = 34$

b) Để tìm phương trình tiếp tuyến của đường tròn © : $(x-1)^2 + ( y+5)^2 =4$, ta cần tìm đạo hàm của phương trình đường tròn tại điểm cần tìm tiếp tuyến.

Ta có phương trình đường tròn chính giữa:

$(x-1)^2 + (y+5)^2 = 2^2$

Đạo hàm hai vế theo x:

$2(x-1) + 2(y+5)y' = 0$

Suy ra:

$y' = -\frac{x-1}{y+5}$

Tại điểm M(x,y) trên đường tròn, ta có:

$(x-1)^2 + (y+5)^2 = 2^2$

Đạo hàm hai vế theo x:

$2(x-1) + 2(y+5)y' = 0$

Suy ra:

$y' = -\frac{x-1}{y+5}$

Vậy tại điểm M(x,y), phương trình tiếp tuyến của đường tròn là:

$y - y_M = y'(x-x_M)$

Thay $y'$ bằng $\frac{-(x-1)}{y+5}$ và $x_M$, $y_M$ bằng 1, -5 ta được:

$y + 5 = \frac{-(x-1)}{y+5}(x-1)$

Simplifying:

$x(y+5) + y(x-1) = 6$

Đường thẳng (d) có phương trình là $3x + 4y - 1 = 0$. Vì tiếp tuyến song song với đường thẳng (d) nên hệ số góc của tiếp tuyến

Lời giải:

Vì $B$ thuộc đt $2x-y=0$ nên gọi tọa độ của $B$ là $(a,2a)$

Gọi $H$ là trung điểm của $AC$ thì $H(2, 2)$

$\overrightarrow{BH}=(2-a,2-2a)$

$\overrightarrow{AC}=(2,6)$

Vì $ABC$ là tam giác cân tại $B$ nên $\overrightarrow{BH}\perp \overrightarrow{AC}$

$\Rightarrow 2(2-a)+6(2-2a)=0$

$\Rightarrow a=\frac{8}{7}$. Do đó $B(\frac{8}{7}, \frac{16}{7})$

$\overrightarrow{AB}=(\frac{1}{7}, \frac{23}{7})$

$\Rightarrow \overrightarrow{n_{AB}}=(\frac{-23}{7}, \frac{1}{7})$

PTĐT $AB$ là:

$\frac{-23}{7}(x-1)+\frac{1}{7}(y+1)=0$

$\Leftrightarrow -23x+y+24=0$

Tương tự với PTĐT $BC$

Cách khác:

\(\overrightarrow{AC}=\left(2;6\right)\)

Phương trình đường thẳng AC:

\(\dfrac{x-1}{2}=\dfrac{y+1}{6}\Leftrightarrow3x-y-4=0\)

Gọi H là chân đường cao kẻ từ B, H có tọa độ:

\(\left\{{}\begin{matrix}x_H=\dfrac{1+3}{2}=2\\y_H=\dfrac{-1+5}{2}=2\end{matrix}\right.\Rightarrow H=\left(2;2\right)\)

Vì BH vuông góc với AC và có \(H\left(2;2\right)\) thuộc BH, phương trình đường thẳng BH: \(x+3y-8=0\)

Tọa độ điểm B là nghiệm của hệ:

\(\left\{{}\begin{matrix}2x-y=0\\x+3y-8=0\end{matrix}\right.\Rightarrow B\left(\dfrac{8}{7};\dfrac{16}{7}\right)\)

Đến đây thì dễ rồi, làm tiếp cách kia.