Cho a,b \(\ne\) 0. Chứng minh: \(\frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{a^2}+4\ge3\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)\)
Những câu hỏi liên quan
Cho a,b,c>0 Chứng minh \(\frac{2a}{b+c}+\frac{2b}{c+a}+\frac{2c}{a+b}\ge3+\frac{\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2}{\left(a+b+c\right)^2}\)
1. Cho a > b > 0 .Chứng minh rằng :
\(a,a+\frac{1}{b\left(a-b\right)}\ge3\)
\(b,a+\frac{4}{\left(a-b\right)\left(b+1\right)^2}\ge3\)
\(c,a+\frac{1}{b\left(a-b\right)^2}\ge2\sqrt{2}\)
Bạn tham khảo:
Cho a>b>0 . Chứng minh :
a, \(a+\frac{4}{b\left(a-b\right)^2}\ge4\)
b, \(a+\frac{4}{\left(a-b\right)\left(b+1\right)^2}\ge3\)
\(a+\frac{4}{b\left(a-b\right)^2}=a-b+b+\frac{4}{b\left(a-b\right)^2}\ge a-b+2\sqrt{\frac{4b}{b\left(a-b\right)^2}}=a-b+\frac{4}{a-b}\ge4\)
Dấu "=" xảy ra khi \(\left\{{}\begin{matrix}a=3\\b=1\end{matrix}\right.\)
b/ \(a-b+\frac{4}{\left(a-b\right)\left(b+1\right)^2}+b\ge2\sqrt{\frac{4\left(a-b\right)}{\left(a-b\right)\left(b+1\right)^2}}+b=\frac{4}{b+1}+b+1-1\ge4-1\)
Dấu "=" xảy ra khi \(\left\{{}\begin{matrix}a=2\\b=1\end{matrix}\right.\)
cho a+b+c=1, a,b,c >0. chứng minh \(\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}\ge3\left(a^2+b^2+c^2\right)\)
Chứng minh với \(a,b\in R\)(a, b khác 0), ta luôn có: \(\frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{a^2}+4\ge3\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)\)
Cho \(a,b\ne0\). Chứng minh: \(\frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{a^2}+4\ge3\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)\)
Ta có : \(\frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{a^2}+4\ge3\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)\)(1) . Đặt \(x=\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\)
\(\Rightarrow\left|x\right|=\left|\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right|=\left|\frac{a}{b}\right|+\left|\frac{b}{a}\right|\ge2\) \(\Rightarrow\orbr{\begin{cases}x\ge2\\x\le-2\end{cases}}\)
bpt (1) \(\Leftrightarrow\left(x^2-2\right)+4\ge3x\Leftrightarrow x^2-3x+2\ge0\)
Xét bất phương trình sau : \(y^2-3y+2\ge0\Leftrightarrow\left(y-1\right)\left(y-2\right)\ge0\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}y\ge2\\y\le1\end{cases}}\)
Từ \(\orbr{\begin{cases}x\ge2\\x\le-2\end{cases}}\) suy ra x nằm trong miền nghiệm của bất phương trình đang xét , vậy x phải thỏa mãn \(y^2-3y+2\ge0\), tức là \(x^2-3x+2\ge0\)đúng.
Suy ra (1) đúng. Vậy ta có đpcm
Đúng 0
Bình luận (0)
+TH1: a, b trái dấu \(\Rightarrow\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\le0\)
\(\Rightarrow VT>0\ge VP\), bất đẳng thức luôn đúng
+TH2: a, b cùng dấu \(\Rightarrow\frac{a}{b}+\frac{b}{a}=\left|\frac{a}{b}\right|+\left|\frac{b}{a}\right|\ge2\sqrt{\left|\frac{a}{b}\right|.\left|\frac{b}{a}\right|}=2\)
bđt \(\Leftrightarrow\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)^2+2\ge3\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)\)
Đặt \(t=\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge2\)
Cần chứng minh \(t^2+2\ge3t\Leftrightarrow\left(t-1\right)\left(t-2\right)\ge0\text{ }\left(\text{đúng }\forall t\ge2\right)\)
Đúng 0
Bình luận (0)
cho a,b,c >0
chứng minh \(\left(1+\frac{1}{a}\right)^4+\left(1+\frac{1}{b}\right)^4+\left(1+\frac{1}{c}\right)^4\ge3.\left(1+\frac{3}{2+abc}\right)^4\)
Vì nó thik thì nó \(\ge\) thôi
Đúng 100%
Đúng 100%
Đúng 100%
Đúng 0
Bình luận (0)
Cho a+b+c=0; a,b,c≠0. Chứng minh \(\sqrt{\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}}=\left|\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right|\)
\(\sqrt{\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}}=\sqrt{\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}+\frac{2\left(a+b+c\right)}{abc}}\)
\(=\sqrt{\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}+\frac{2}{ab}+\frac{2}{bc}+\frac{2}{ca}}\)
\(=\sqrt{\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)^2}=\left|\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right|\)
Đúng 0
Bình luận (0)
Cho a,b > 0 và \(a^2+b^2=1\). Chứng minh : \(\left(1+a\right)\left(a+\frac{1}{b}\right)+\left(1+b\right)\left(b+\frac{1}{a}\right)\ge3\left(1+\sqrt{2}\right)\)
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(VT=a^2+b^2+\frac{a}{b}+\frac{b}{a}+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+a+b\)
\(=1+\frac{a}{b}+\frac{b}{a}+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+a+b\)
\(=1+\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)+\left(\frac{1}{a}+2a\right)+\left(\frac{1}{b}+2b\right)-\left(a+b\right)\)
\(\ge3+2\sqrt{\frac{1}{a}\cdot2a}+2\sqrt{\frac{1}{b}\cdot2b}-\sqrt{2\left(a^2+b^2\right)}\)
\(\ge3+4\sqrt{2}-\sqrt{2}=3+3\sqrt{2}=3\left(1+\sqrt{2}\right)\)
Khi \(a=b=\frac{1}{\sqrt{2}}\)
Đúng 0
Bình luận (0)