Hãy sử dụng tỉ số diện tích hai tam giác để chứng minh định lí về tính chất đường phân giác của tam giác.
Cho tam giác MNP với đường trung tuyến MR và trọng tâm Q
a) Tính tỉ số các diện tích của hai tam giác MPQ VÀ RPQ
b) Tính tỉ số các diện tích của hai tam giác MNQ và RNQ
c) So sánh các diện tích của hai tam giác RPQ và RNQ
Từ các kết quả trên ,hãy chứng minh các tam giác QMN ,QNP ,QPM có cùng diện tích
Gợi ý: hai tam giác ở mỗi câu a,b,c có chung đường cao
a) Vẽ PB ⊥ MR
Vậy tam giác MPQ và RPQ có chung đường cao PB
Vì Q là trọng tâm của ΔMNR nên MQ = 2QR
Ta có :
\(S\Delta MPQ=\frac{1}{2}MQ.PB=\frac{1}{2}.2QR.PB=QR.PB\)
\(S\Delta RPQ=\frac{1}{2}QR.PB\)
Vậy \(\frac{S\Delta MPQ}{S\Delta RPQ}=\frac{QR.PB}{\frac{1}{2}QR.PB}=2\)
b) Vẽ NA ⊥ MR
Vậy NA là đường cao của ΔMNQ đồng thời là đường cao của ΔRNQ.
Vì Q là trọng tâm của ΔMNP nên MQ = 2QR
Ta có :
\(S\Delta MNQ=\frac{1}{2}MQ.NA=\frac{1}{2}.2QR.NA=QR.NA\)
\(S\Delta RNQ=\frac{1}{2}QR.NA\)
Vậy \(\frac{S\Delta MNQ}{S\Delta RNQ}=\frac{QR.NA}{\frac{1}{2}QR.NA}=2\)
c) \(\Delta NRA=\Delta PRB\) => NA=PB
Ta có :\(S\Delta RPQ=\frac{1}{2}QR.PB=\frac{1}{2}QR.NA=S\Delta RNQ\)
Vậy SΔRPQ = SΔRNQ
- Từ kết quả câu a) ta có:
SΔQPM = 2SΔPRQ = SΔQNP (do câu c) (*)
- Từ kết quả câu b) ta có:
SΔQMN = 2SΔRNQ = SΔQNP (**)
Từ (*) và (**) suy ra:
SΔQMN = SΔQNP = SΔQPM (đpcm)
Cho tam giác MNP với đường trung tuyến MR và trọng tâm Q
a) Tính tỉ số các diện tích của hai tam giác MPQ và RPQ
b) Tính tỉ số các diện tích của hai tam giác MNQ và RNQ
c) So sánh các diện tích của hai tam giác RPQ và RNQ
Từ các kết quả trên, hãy chứng minh các tam giác QMN, QNP, QPM có cùng diện tích
Gợi ý : Hai tam giác ở mỗi câu a, b, c có chung đường cao
a) Vì Q là trọng tâm của ∆MNP nên điểm Q thuộc đường trung tuyến MR và MQRQ=2MQRQ=2.
Vì hai tam giác ∆MPQ và ∆RPQ có chung đường cao kẻ từ P nên :
SΔMPQSΔRPQ=MQRQ=2SΔMPQSΔRPQ=MQRQ=2 (1)
b) Chứng minh tương tự như câu (a) ta có :
SΔMPQSΔRPQ=2(2)SΔMPQSΔRPQ=2(2)
c) Hai tam giác ∆PQR và ∆QNR có chung đường cao kẻ từ Q và PR = RN nên S∆PQR = S∆QNR
Vì S∆PQR + S∆QNR = S∆PQN
Nên S∆PQN = 2.S∆PQR = 2.S∆QNR (3)
Từ (1), (2), (3) => S∆QMN = S∆QNP = S∆QPM
Bài 5:Cho tam giác ABC(AB=m,AC=n,m<n),đường trung tuyến AM và đường phân giác AD của góc BAC.
a) chứng minh D nằm trong đoạn thẳng BM.
b)chứng minh tỉ số diện tích của 2 tam giác ADB và ADC là m/n.
c)tính diện tích tam giác ADM,nếu diện tích tam giác ABC là S.
d) tính diện tích tam giác ADM,nếu S=14cm2,m=3cm,n=4cm.
Cho tam giác ABC có các đường phân giác AD, BE, CF.
a) Chứng minh D B D C . E C E A . F A F B = 1 .
b) Khi tam giác ABC cân tại A, chứng minh EF song song với BC.
c) Biết A B A C = 2 3 , tính tỉ số diện tích của hai tam giác ABD và ACD
Chứng minh định lí: trong một tam giác cân , hai đường trung tuyến ứng với hai cạnh bên thì bằng nhau.?
Và
Hãy chứng minh định lí đảo của định lí trên: nếu hai tam giác có hai đường trung tuyến bằng nhau thì tam giác đó là tam giác cân
cho tam giác MNP và đường trung tuyến MRvaof trọng tâm Q
a) Tính tỉ số các diện tích của hai tam giác MPQ và RPQ
b)tỉ số các diện tích của hai tam giác MNQ và RNQ
c) so sánh các diện tích chủa hai tam giacsRPQ và RNQ
Từ các kết quả trên, hãy chứng minh các tam giác QMN,QNP,QPM có cùng diện tích
ai lm đúng mình tích cho
cho tam giác ABC vuông tại A , AB=12cm , AC=16cm. Vẽ đường cao AH( H thuộc BC ) và tia phân giác của góc A cắt BC tại D
a/ chứng minh tam giác HBA đồng dangj tam giác ABC
b/ Tính độ dài cạnh BC
c/ tính tỉ số diện tích của hai tam giác ABD và ACD
d/ Tính độ dài các đoạn thẳng BD và CD
e/ Tính độ dài chiều cao AH
a: Xét ΔHBA vuông tại H và ΔABC vuông tại A có
\(\widehat{B}\) chung
Do đó: ΔHBA đồng dạng với ΔABC
b: ΔABC vuông tại A
=>\(AB^2+AC^2=BC^2\)
=>\(BC^2=12^2+16^2=400\)
=>\(BC=\sqrt{400}=20\left(cm\right)\)
c: Xét ΔABC có AD là phân giác
nên \(\dfrac{BD}{CD}=\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{3}{4}\)
=>\(S_{ABD}=\dfrac{3}{4}\cdot S_{ACD}\)
d: Ta có: \(\dfrac{BD}{CD}=\dfrac{3}{4}\)
=>\(\dfrac{BD}{3}=\dfrac{CD}{4}\)
mà BD+CD=BC=20
nên Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta được:
\(\dfrac{BD}{3}=\dfrac{CD}{4}=\dfrac{BD+CD}{3+4}=\dfrac{20}{7}\)
=>\(BD=\dfrac{20}{7}\cdot3=\dfrac{60}{7}\left(cm\right);CD=\dfrac{20}{7}\cdot4=\dfrac{80}{7}\left(cm\right)\)
e: Xét ΔABC vuông tại A có AH là đường cao
nên \(AH\cdot BC=AB\cdot AC\)
=>\(AH\cdot20=12\cdot16=192\)
=>AH=192/20=9,6(cm)
Cho tam giác ABC vuông tại A, có AB = 12cm, AC = 16cm. Kẻ đường cao AH và đường phân giác AD của tam giác.
a) Chứng minh tam giác HBA đồng dạng tam giác ABC
b) Tính tỉ số diện tích của tam giác ABD và tam giác ADC
c) Tính BC, BD và AH
cho tam giác ABC vuông tại A , AB=12cm , AC=16cm. Vẽ đường cao AH( H thuộc BC ) và tia phân giác của góc A cắt BC tại D a/ chứng minh tam giác HBA đồng dangj tam giác ABC b/ Tính độ dài cạnh BC c/ tính tỉ số diện tích của hai tam giác ABD và ACD d/ Tính độ dài các đoạn thẳng BD và CD
a: Xét ΔHBA vuông tại H và ΔABC vuông tại A có
góc B chung
=>ΔHBA đồng dạng với ΔABC
b: BC=căn 12^2+16^2=20cm
c: AD là phân giác
=>BD/CD=AB/AC=3/4
=>S ABD/S ACD=3/4
d: BD/CD=3/4
=>BD/3=CD/4
mà BD+CD=10
nên BD/3=CD/4=10/7
=>BD=30/7cm; CD=40/7cm