\(f\left(x\right)=ax^4+bx^3+cx^2+dx+e\)

\(f\left(-x\right)=ax^4-bx^3+cx^2-dx+e\)

\(\Rightarrow ax^4+bx^3+cx^2+dx+e=ax^4-bx^3+cx^2-dx+e\)

\(\Rightarrow2bx^3+2dx=0\) \(\forall x\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}2b=0\\2d=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow b=d=0\)

\(\Rightarrow f\left(x\right)=ax^4+cx^2+e\)

\(f\left(0\right)=e\Rightarrow e=2013\Rightarrow f\left(x\right)=ax^4+cx^2+2013\)

\(\left\{{}\begin{matrix}f\left(1\right)=a+c+2013=2035\\f\left(2\right)=16a+4c+2013=2221\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=10\\c=12\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow f\left(x\right)=10x^4+12x^2+2013\) \(\Rightarrow f\left(3\right)=2931\)

Akai Haruma Nguyễn Huy Thắng

Giả sử f(x) có nghiệm nguyên là a, Khi đó f(x)=(x−a)Q(x)
Thay x =1;2 vào biểu thức trên ta được : f(1)=(1−a)Q(1) và f(2)=(2−a)Q(2)

=> f(1).f(2)=(a−1)(a−2)Q(1).Q(2)

Hay 2013=(a−1)(a−2).Q(1)Q(2)

Ta có VT không chia hết cho 2, VP chia hết cho 2 ( vì (a−1)(a−2) chia hết cho 2 )

=> PT vô nghiệm

=> f(x) không có nghiệm nguyên 

Xét g(x) = f(x) - x^2 -2 
g(x) có bậc 4 và g(1)=g(3)=g(5)=0 
Vậy g(x)=(x-1)(x-3)(x-5)(x+a) vì f có hệ số cao nhất là 1 
=> f(x) = (x-1)(x-3)(x-5)(x+a) + x^2 +2 
f(-2) = -105(a-2) + 6 = 216 -105a 
f(6) = 15(a+6) + 38 = 128 +15a 
f(-2) + 7f(6) = 216 - 105a + 896 + 105a = 1112

Tại sao lại có x+a vậy bạn?

amazing gutchop em