Question

cho đa thức f(x) có 4 bậc thỏa mãn f(1)=f(-1);f(2)=f(-2)

Chững minh :f(2013)=f(-2013)

Answer 1

Đa thức bậc 4 có dạng \(f\left(x\right)=ax^4+bx^3+cx^2+dx+e\)

+) \(f\left(1\right)=f\left(-1\right)\)

\(\Leftrightarrow a+b+c+d+e=a-b+c-d+e\)

\(\Leftrightarrow b+d=-b-d\)

\(\Leftrightarrow2\left(b+d\right)=0\Leftrightarrow b+d=0\Leftrightarrow b=-d\)(1)

+) \(f\left(2\right)=f\left(-2\right)\)

\(\Leftrightarrow16a+8b+4c+2d+e=16a-8b+4c-2d+e\)

\(\Leftrightarrow8b+2d=-8b-2d\)

\(\Leftrightarrow4b+d=0\Leftrightarrow4b=-d\)(2)

Từ (1) và (2) suy ra \(4b=b\Leftrightarrow3b=0\Leftrightarrow b=0\Leftrightarrow b=d=0\)

Vậy f(x) trở thành \(f\left(x\right)=ax^4+cx^2+e\)

f(x) là đa thức có bậc chẵn nên f(x) = f(-x)

Vậy \(f\left(2013\right)=f\left(-2013\right)\)(đpcm)