a) Xét tam giác MOB và tam giác ION có:

MO = ON (gt)

BO = OI (gt)

góc MOB = góc ION (đối đỉnh)

=> tam giác MOB = tam giác ION (c.g.c)

=> góc MBO = góc OIN (cặp góc tương ứng)

Mà góc MBO = góc OIN (ở vị trí so le trong) => BM // NI

b) Vì tam giác MOB = tam giác ION (câu a)

=> MB = IN (cặp cạnh tương ứng)

Mà MB = NC (gt) 

=> IN = NC => Tam giác NIC cân 

c) xin lỗi bn nhé ! câu c mình nghĩ ko ra, bn nhờ bn khác giúp nha !

a) Ta có: $\widehat{ABM} = \widehat{NBM}$ (vì $BN = BA$) và $\widehat{BMA} = \widehat{NMB}$ (vì BM là phân giác của $\widehat{B}$). Vậy tam giác $ABM$ và tam giác $NBM$ có hai góc bằng nhau nên chúng đồng dạng.

b) Ta có $BN = BA$, suy ra tam giác $ABN$ đều, do đó $\widehat{NAB} = 60^\circ$. Ta có thể tính được $\widehat{BAC} = 90^\circ - \widehat{CAB} = 90^\circ - \widehat{ABN} = 30^\circ$. Khi đó, $\widehat{AMC} = \widehat{A} + \widehat{BAC} = 90^\circ + 30^\circ = 120^\circ$.

Do đó, tam giác $AMC$ là tam giác cân tại $A$ vì $\widehat{AMC} = 120^\circ = 2\cdot \widehat{ABC}$ (do tam giác $ABC$ vuông tại $A$). Khi đó, $AM = MC$.

c) Ta có $\widehat{CAB} = 30^\circ$, nên tia đối của $AB$ là tia $AH$ cũng là phân giác của $\widehat{A}$. Gọi $E'$ là trên $AH$ sao cho $AE' = CN$. Khi đó, ta có thể chứng minh $E'$ trùng với $E$, tức là $E'$ nằm trên đoạn thẳng $CE$ và $CE' = EI$.

Đặt $x = BE = BC$. Ta có $AN = AB = BN = x$, do đó tam giác $ABN$ đều và $\widehat{ANB} = 60^\circ$. Khi đó, ta có $\widehat{A} + \widehat{M} + \widehat{N} = 180^\circ$, hay $\widehat{M} + \widehat{N} = 90^\circ$.

Ta có $\dfrac{AE'}{CE'} = \dfrac{AN}{CN} = 1$, do đó $AE' = CE' = x$. Khi đó, tam giác $ACE'$ đều và $\widehat{ACE'} = 60^\circ$. Ta có thể tính được $\widehat{C} = 180^\circ - \widehat{A} - \widehat{B} = 60^\circ$, nên tam giác $ABC$ đều và $AC = x$.

Do $AM = MC$, ta có $\widehat{MAC} = \dfrac{180^\circ - \widehat{M}}{2} = \dfrac{180^\circ - \widehat{N}}{2}$. Ta cũng có $\widehat{B} + \widehat{N} + \widehat{C} = 180^\circ$, hay $\widehat{N} = 180^\circ - \widehat{A} - \widehat{B} - \widehat{B} - \widehat{C}$

Do đó, $\widehat{N} = 180^\circ - \widehat{A} - 90^\circ - \widehat{C} = 90^\circ - \widehat{B}$

Vậy $\widehat{MAC} = \dfrac{180^\circ - \widehat{M}}{2} = \dfrac{180^\circ - \widehat{N}}{2} = \dfrac{\widehat{B}}{2}$

Suy ra tam giác ABM và NBM có cùng một góc ở đỉnh M, và hai góc còn lại lần lượt bằng $\dfrac{\widehat{A}}{2}$ và $\dfrac{\widehat{C}}{2}$, nên chúng đồng dạng. Do đó, ta có $ABM = NBM$.

Về phần b, do $AM = MC$, ta có $AMC$ là tam giác cân tại $M$, hay $BM$ là đường trung trực của $AC$. Vì $BN$ là đường phân giác của $\widehat{B}$, nên ta có $BM$ cũng là đường phân giác của tam giác $\triangle ABC$. Do đó, $BM$ là đường phân giác của $\widehat{BAC}$, hay $\widehat{BAM} = \widehat{MAC} = \dfrac{\widehat{BAC}}{2}$. Vậy $\widehat{BAM} + \widehat{ABM} = \dfrac{\widehat{BAC}}{2} + \dfrac{\widehat{A}}{2} = 90^\circ$, hay tam giác $\triangle ABM$ là tam giác vuông tại $B$.

Về phần c, vì $AE = CN$, ta có tam giác $\triangle AEC$ là tam giác cân tại $E$, nên $EI$ là đường trung trực của $AC$. Do đó, $\widehat{BIM} = \widehat{BIE} + \widehat{EIM} = \widehat{BCM} + \widehat{CAM} = \dfrac{\widehat{B}}{2} + \dfrac{\widehat{C}}{2}$. Tuy nhiên, ta đã chứng minh được $\widehat{MAC} = \dfrac{\widehat{B}}{2}$, nên $\widehat{BIM} = \widehat{MAC} + \dfrac{\widehat{C}}{2}$. Do đó, $B, M, I$ thẳng hàng.

a: Xét ΔABM va ΔNBM có

BA=BN

góc ABM=góc NBM

BM chung

=>ΔABM=ΔNBM

b: ΔABM=ΔNBM

=>MA=MN

mà MN<MC

nên MA<MC

c: Xet ΔMAE vuông tại A và ΔMNC vuông tại N có

MA=MN

AE=NC

=>ΔMAE=ΔMNC

=>ME=MC

=>M nằm trên trung trực của CE

mà BI là trung trựccủa CE
nen B,M,I thẳng hàng

a: Xét ΔADM và ΔACM co

AD=AC

DM=CM

AM chung

=>ΔADM=ΔACM

b: Xét ΔAEN và ΔABN có

AE=AB

EN=BN

AN chung

=>ΔAEN=ΔABN

a: Xét tứ giác ACBF có 

N là trung điểm của CF

N là trung điểm của AB

Do đó: ACBF là hình bình hành

Suy ra: AF=BC

b: Xét tứ giác AECB có

M là trung điểm của AC

M là trung điểm của BE

Do đó: ABCE là hình bình hành

Suy ra:AE//BC và AE=BC

mà AF/BC

và AE,AF có điểm chung là A

nên A,E,F thẳng hàng

mà AE=AF

nên A là trung điểm của EF

c: Xét ΔABC có 

M là trung điểm của AC

N là trung điểm của AB

Do đó: MN là đường trung bình

=>MN//BC

hay MN//FE

a: Xet ΔANO vuông tại N và ΔBNF vuông tại N có

NA=NB

NO=NF

=>ΔANO=ΔBNF

=>AO=BF và góc NAO=góc NBF

=>AO//BF

b: Xét tứ giác AECO có

P là trung điểm chung của AC và EO

=>AECO là hình bình hành

=>AO//CE và AO=CE; OC//AE và OC=AE

=>FB//CE và FB=CE
Xét tú giác BOCD có

M là trung điểm chung của BC và OD

=>BOCD là hình bình hành

=>BD//OC và BD=OC; OB//DC và OB=DC

=>AE//BD và AE=BD; AF//CD và AF=CD

AE=BD=CO

CD=AF=BO

BF=CE=AO

mà BO=AO=CO

nên AE=BD=CD=AF=BF=CE
=>ĐPCM

a: Xét ΔANO và ΔBNF có

NA=NB

góc ANO=góc BNF

NO=NF

=>ΔANO=ΔBNF

=>AO=BF và góc NAO=góc NBF

=>AO//BF

c: Xét ΔODE có OM/OD=OP/OE

nên MP//DE và MP=1/2DE

Xet ΔBAC có CM/CB=CP/CA=1/2

nên MP//AB và MP=1/2AB

=>DE=AB

Xét ΔODF có OM/OD=ON/OF=1/2

nên MN//FD và MN=1/2FD

Xét ΔBAC có BM/BC=BN/BA=1/2

nên MN//AC và MN=1/2AC

=>FD=AC

Xét ΔOEF có OP/OE=ON/OF=1/2

nên NP//FE và NP=1/2FE

Xét ΔABC có AN/AB=AP/AC

nên NP//BC và NP=1/2BC

=>FE=BC

=>ΔABC=ΔDEF