a)\(a^2+b^2+c^2+\frac{3}{4}\ge a+b+c\)

\(\Leftrightarrow a^2-a+\frac{1}{4}+b^2-b+\frac{1}{4}+c^2-c+\frac{1}{4}\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-\frac{1}{2}\right)^2+\left(b-\frac{1}{2}\right)^2+\left(c-\frac{1}{2}\right)^2\ge0\)

Xảy ra khi \(a=b=c=\frac{1}{2}\)

b)Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có:

\(\left(1+1\right)\left(a^4+b^4\right)\ge\left(a^2+b^2\right)^2\Rightarrow a^4+b^4\ge\frac{\left(a^2+b^2\right)^2}{2}\)

\(\frac{\left(a^2+b^2\right)^2}{2}\ge\frac{\left(\frac{\left(a+b\right)^2}{2}\right)^2}{2}=\frac{\frac{\left(a+b\right)^2}{4}}{2}>\frac{\frac{1}{4}}{2}=\frac{1}{8}\)

c)\(BDT\Leftrightarrow\frac{\left(a-b\right)^2\left(a^2+ab+b^2\right)}{a^2b^2}\ge0\)

Khi a=b

\(a^3-b^3=\left(a-b\right).\left(a^2+ab+b^2\right)\)

\(\Leftrightarrow\)\(a^3-b^3=a^3+a^2b+ab^2-a^2b-ab^2-b^3\)

\(\Leftrightarrow\)\(a^3-b^3=a^3-b^3\)

\(\Rightarrow\)\(đpcm\)

\(a^3+b^3=\left(a+b\right).\left(a^2-ab+b^2\right)\)

\(\Leftrightarrow\)\(a^3+b^3=a^3-a^2b+ab^2+a^2b-ab^2+b^3\)

\(\Leftrightarrow\)\(a^3+b^3=a^3+b^3\)

\(\Rightarrow\)\(đpcm\)

\(a^2-b^2=\left(a-b\right).\left(a+b\right)\)

\(\Leftrightarrow\)\(a^2-b^2=a^2+ab-ab-b^2\)

\(\Leftrightarrow\)\(a^2-b^2=a^2-b^2\)

\(\Rightarrow\)\(đpcm\)

a) Ta có \(\left(a-b\right)^2\ge0\)

\(\Leftrightarrow a^2-2ab+b^2\ge0\)

\(\Leftrightarrow a^2+b^2\ge2ab\)

\(\Leftrightarrow\frac{a^2+b^2}{2}\ge ab\)( chia 2 vế cho 2 )

b) \(\frac{a+1}{a}\)chưa lớn hơn hoặc bằng 2 đc , bạn thay a=2 vào thì 3/2<2

c) Ta có \(x^2\ge0\);\(y^2\ge0\);\(z^2\ge0\)

nên \(x^2+y^2+z^2\ge0\)

\(\Rightarrow x^2+y^2+z^2+3\ge3\)

Ta có \(\left(a-b\right)^2\ge0\)

\(\Leftrightarrow a^2-2ab+b^2\ge0\)

\(\Leftrightarrow a^2-2ab+b^2\ge0\)

\(\Leftrightarrow a^2+b^2\ge2ab\Leftrightarrow\frac{a^2+b^2}{2}\ge ab\)

a

\(\frac{a^2}{b+c}+\frac{b+c}{4}\ge2\sqrt{\frac{a^2}{b+c}.\frac{b+c}{4}}=a\)

Tương tự với 2 cụm còn lại, cộng theo vế và thu gọn sẽ được đpcm.

b

\(a^2+b^2\ge2ab\)

\(\Rightarrow\frac{a}{a^2+b^2}\le\frac{a}{2ab}=\frac{1}{2b}\)

Tương tự với 2 cụm còn lại, cộng theo vế là được đpcm.

mình chỉ làm đc câu a thôi nhưng dài lắm

bài đó áp dụng bất đẳng thức cô si

 bài dài quá bạn ạ 

Bài 1

Đặt \(A=a^3+b^3+c^3-3(a-1)(b-1)(c-1)\)

Biến đổi:

\(A=a^3+b^3+c^3-3[abc-(ab+bc+ac)+a+b+c-1]=a^3+b^3+c^3-3abc+3(ab+bc+ac)-6\)

\(A=(a+b+c)^3-3[(a+b)(b+c)(c+a)+abc]-6+3(ab+bc+ac)\)

\(A=21-3(a+b+c)(ab+bc+ac)+3(ab+bc+ac)=21-6(ab+bc+ac)\)

Áp dụng BĐT Am-Gm:

\(3(ab+bc+ac)\leq (a+b+c)^2=9\Rightarrow ab+bc+ac\leq 3\)

\(\Rightarrow A\geq 21-6.3=3\). Dấu bằng xảy ra khi $a=b=c=1$

Vì \(0\leq a,b,c\leq2\Rightarrow (a-2)(b-2)(c-2)\leq 0\)

\(\Leftrightarrow abc-2(ab+bc+ac)+4\leq 0\Leftrightarrow 2(ab+bc+ac)\geq 4+abc\geq 0\Rightarrow ab+bc+ac\geq 2\)

\(\Rightarrow A\leq 21-6.2=9\). Dấu bằng xảy ra khi $(a,b,c)=(0,1,2)$ và các hoán vị.

Bài 2a)

Ta có

\(A=a^2+b^2+c^2=(a+1)^2+(b+1)^2+(c+1)^2-3-2(a+b+c)\)

\(\Leftrightarrow A=(a+b+c+3)^2-2[(a+1)(b+1)+(b+1)(c+1)+(c+1)(a+1)]-3\)

\(\Leftrightarrow A=6-2[(a+1)(b+1)+(b+1)(c+1)+(c+1)(a+1)]\)

Vì \(-1\leq a,b,c\leq 2\Rightarrow a+1,b+1,c+1\geq 0\)

\(\Rightarrow (a+1)(b+1)+(b+1)(c+1)+(c+1)(a+1)\geq 0\Rightarrow A\leq 6\)

Dấu bằng xảy ra khi \((a,b,c)=(-1,-1,2)\) và các hoán vị của nó

Câu 2b)

Đặt \((a,b,c)\mapsto(x-1,y-1,z-1)\)

Khi đó ta có \(0\leq x,y,z\leq 3,x+y+z=3\)

Cần cm

\(2(x-1)(y-1)(z-1)\leq (x-1)^2+(y-1)^2+(z-1)^2\leq 2(x-1)(y-1)(z-1)+2\)

Vế đầu:

Khai triển kết hợp với $x+y+z=3$ thì \(\text{BĐT}\Leftrightarrow xyz\leq 1\)

Điều này đúng vì theo AM-GM cho số không âm thì \(3=x+y+z\geq 3\sqrt[3]{xyz}\rightarrow xyz\leq 1\)

Ta có đpcm. Dấu bằng xảy ra khi $x=y=z=1$ hay $a=b=c=0$

Vế sau:

Tương tự phần trên \(\text{BĐT}\Leftrightarrow xyz\geq 0\) ( luôn đúng do $x,y,z\geq 0$)

Dấu bằng xảy ra khi $(x,y,z)=(2,-1,-1)$ và hoán vị

Lưu ý: "Khi" khác với "khi và chỉ khi"- nghĩa là chỉ nêu 1TH chứ chưa quét hết toàn bộ điểm rơi

Đặt \(\frac{a}{b}=\frac{b}{d}=t\Leftrightarrow\frac{a}{b}.\frac{b}{d}=t^2=\frac{a}{d}\)

\(\frac{a^2}{b^2}=\frac{b^2}{d^2}=\frac{a^2+b^2}{b^2+d^2}=t^2\)

Ta có đpcm

-Sửa đề: \(a,b>0\)

\(\dfrac{a^2}{b^2}+\dfrac{b^2}{a^2}\ge\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{a^4+b^4}{a^2b^2}\ge\dfrac{a^2+b^2}{ab}\)

\(\Leftrightarrow a^3b^3.\dfrac{a^4+b^4}{a^2b^2}\ge a^3b^3.\dfrac{a^2+b^2}{ab}\)

\(\Leftrightarrow\left(a^4+b^4\right)ab\ge\left(a^2+b^2\right)a^2b^2\)

\(\Leftrightarrow\left(a^4+b^4\right)ab-\left(a^2+b^2\right)a^2b^2=0\)

\(\Leftrightarrow ab\left[a^4+b^4-\left(a^2+b^2\right)ab\right]\ge0\)

\(\Leftrightarrow ab\left(a^4+b^4-a^3b-ab^3\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow ab\left[a^3\left(a-b\right)+b^3\left(b-a\right)\right]\ge0\)

\(\Leftrightarrow ab\left(a-b\right)\left(a^3-b^3\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow ab\left(a-b\right)^2\left(a^2+ab+b^2\right)\ge0\) (đúng)

\(\frac{a^2+ac}{ac+c^2}=\frac{a\left(a+c\right)}{c\left(a+c\right)}=\frac{a}{c}\)

=> điều phải chứng minh