Dấu "=" xảy ra khi x=y=2; ta có : \(\sqrt[3]{8^x.8^x}=\sqrt[3]{64^x}=4^x\)

\(8^x+8^x+8^2\ge3\sqrt[3]{8^x.8^x.8^2}=12.4^x\)

\(8^y+8^y+8^2\ge12.4^y\)

\(8^z+8^z+8^2\ge12.4^z\)

Cộng 3 vế BĐT trên => đpcm

Một cách khác:

Đặt $(2^x,2^y,2^z)=(a,b,c)\Rightarrow abc=2^{x+y+z}=2^6=64$

Bài toán trở thành:

Cho $a,b,c>0$ sao cho $abc=64$. CMR: $a^3+b^3+c^3\geq 4(a^2+b^2+c^2)$

------------------------------

Áp dụng BĐT Bunhiacopxky và AM-GM:

$(a^3+b^3+c^3)(a+b+c)\geq (a^2+b^2+c^2)^2$

\(\Rightarrow a^3+b^3+c^3\geq \frac{(a^2+b^2+c^2)^2}{a+b+c}(1)\)

Mà: \(a^2+b^2+c^2\geq \frac{(a+b+c)^2}{3}\geq \frac{(a+b+c).3\sqrt[3]{abc}}{3}=\frac{(a+b+c).3\sqrt[3]{64}}{3}=4(a+b+c)(2)\)

Từ \((1);(2)\Rightarrow a^3+b^3+c^3\geq \frac{(a^2+b^2+c^2).4(a+b+c)}{a+b+c}=4(a^2+b^2+c^2)\) (đpcm)

Vậy.......

Áp dụng BĐT phụ:\(\frac{x^2}{m}+\frac{y^2}{n}\ge\frac{\left(x+y\right)^2}{m+n}\)

\(\frac{x^4}{1}+\frac{y^4}{1}\ge\frac{\left(x^2+y^2\right)^2}{2}=\frac{\left(\frac{x^2}{1}+\frac{y^2}{1}\right)^2}{2}\ge\frac{\frac{\left(x+y\right)^4}{4}}{2}=\frac{1}{8}\)

Dấu "=" xảy ra tại x=y=¹/₂

Bạn nên viết đề bằng công thức toán (biểu tượng $\sum$ góc trái khung soạn thảo) để được hỗ trợ tốt hơn. Viết đề như trên khó theo dõi quá.

Em chỉ biết làm \(\hept{\begin{cases}x+y\ge1\\x^4+y^4\ge\frac{1}{8}\end{cases}}\)thôi ạ :v 

Áp dụng liên tiếp hai lần bất đẳng thức Cauchy-Schwarz dạng Engel ta có :

\(x^4+y^4\ge\frac{\left(x^2+y^2\right)^2}{2}\ge\frac{\left[\frac{\left(x+y\right)^2}{2}\right]^2}{2}=\frac{\frac{\left(x+y\right)^4}{4}}{2}=\frac{\frac{1}{4}}{2}=\frac{1}{8}\)( đpcm )

Đẳng thức xảy ra <=> x=y=1/2

a, Ta có : \(x^3+y^3=\left(x+y\right)\left(x^2-xy+y^2\right)\)

\(=\left(x+y\right)\left(\left(x+y\right)^2-2xy-xy\right)\)

\(=1\left(1^2-3\left(-1\right)\right)=1\left(1^2+3\right)=4\)

b, Ta có : \(x^3-y^3=\left(x-y\right)\left(x^2+xy+y^2\right)\)

\(=\left(x-y\right)\left(\left(x-y\right)^2+3xy\right)\)

\(=1\left(1+3.9\right)=19\)

P/s : Sửa đề : Cho x > y > 1 và x⁵ + y⁵ = x - y . Chứng minh rằng : x⁴ + y⁴ < 1

+)Ta có : x⁴ + y⁴ < x⁴ + x³y + x²y² + xy³ + y⁴

Mà x > y > 1 \( \implies\) x - y > 0 

\( \implies\) ( x - y ) ( x⁴ + y⁴ ) < ( x - y ) ( x⁴ + x³y + x²y² + xy³ + y⁴ ) ( * )

+)Ta có : ( x - y ) ( x⁴ + x³y + x²y² + xy³ + y⁴ ) 

            = x ( x⁴ + x³y + x²y² + xy³ + y⁴ ) - y ( x⁴ + x³y + x²y² + xy³ + y⁴ ) 

            = x⁵ + x⁴y + x³y² + x²y³ + xy⁴ - x⁴y -  x³y² - x²y³ -  xy⁴ - y⁵

            = x⁵ - y⁵

\( \implies\) ( x - y ) ( x⁴ + x³y + x²y² + xy³ + y⁴ ) = x⁵ - y⁵ ( ** )

Từ ( * ) ; ( ** ) 

\( \implies\)  ( x - y ) ( x⁴ + y⁴ ) <  x⁵ - y⁵

Mà   x⁵ - y⁵ < x⁵ + y⁵ 

\( \implies\) ( x - y ) ( x⁴ + y⁴ ) <  x⁵ - y⁵

\( \implies\) ( x - y ) ( x⁴ + y⁴ ) < x - y 

\( \implies\)  x⁴ + y⁴ < 1 ( đpcm ) 

Ta có:

\(x+\dfrac{4}{x+1}+y+\dfrac{9}{y+1}=\left(x+1+\dfrac{4}{x+1}\right)+\left(y+1+\dfrac{9}{y+1}\right)-2\)

\(\ge2.2+2.3-2=8\)

Vì x,y > 0 nên dấu = không xảy ra.

Vậy ta có ĐPCM

a. Do \(x=y-1\Rightarrow x-y=1\)

Ta có:

\(A=x^3-y^3-3xy=\left(x-y\right)^3+3xy\left(x-y\right)-3xy=1^3+3xy.1-3xy=1\left(đpcm\right)\)

b. \(B=\left(x-y\right)\left(x+y\right)\left(x^2+y^2\right)\left(x^4+y^4\right)\left(x^8+y^8\right)\)

(Do \(x-y=1\))

(Bạn áp dụng hằng đẳng thức \(x^2-y^2=\left(x-y\right)\left(x+y\right)\)vào bài toán)

Kết quả, \(B=x^{16}-y^{16}\left(đpcm\right)\)

a)\(x=y+1\Rightarrow x-y=1\Rightarrow\left(x-y\right)^3=1\)

Hay x³- 3xy(x-y) -  y³=1  => x³- y³ -3xy =1

b) 1.(x+y)(x²+y²)(x⁴+y⁴)(x⁸+y⁸) = (x-y)(x+y)......................=(x²-y²)(x²+y²)..........=(x^4-y⁴)(x⁴+y⁴)......=(x⁸-y⁸)(x⁸+y⁸) =x¹⁶-y¹⁶