P = (4n-5)/(2n-1) = (4n-2 - 3)/(2n-1) = 2 - 3/(2n-1) 

P thuộc Z khi và chỉ khi 3/(2n-1) thuộc Z <=> 2n-1 là ước của 3 

* 2n - 1 = -1 <=> n = 0 

* 2n - 1 = -3 <=> n = -1 (loại, vì n tự nhiên) 

* 2n - 1 = 1 <=> n = 1 

* 2n - 1 = 3 <=> n = 2 

Vậy có 3 giá trị của n tự nhiên là: 0, 1, 2 
------------- 
 

Có \(4n-5⋮2n-1\)

Mà \(2n-1⋮2n-1\)

\(\Rightarrow2\left(2n-1\right)⋮2n-1\)

\(\Rightarrow4n-2⋮2n-1\)

\(\Leftrightarrow4n-2-4n+5⋮2n-1\)

\(\Rightarrow3⋮2n-1\)

\(\Rightarrow2n-1\in\left(1;2;3\right)\)

\(\Rightarrow n\in\left(1;2\right)\)

Vậy \(n\in\left(1;2\right)\)

\(\left(4n+1\right)⋮\left(2n-1\right)\\ \Rightarrow\left(4n-2+3\right)⋮\left(2n-1\right)\\ \Rightarrow\left[2\left(2n-1\right)+3\right]⋮\left(2n-1\right)\)

Vì \(2\left(2n-1\right)⋮\left(2n-1\right)\Rightarrow3⋮\left(2n-1\right)\Rightarrow2n-1\inƯ\left(3\right)\)

Ta có bảng:

Vậy \(n\in\left\{-1;0;1;2\right\}\)

a: \(\Leftrightarrow2n-1\in\left\{1;-1;3;-3\right\}\)

hay \(n\in\left\{1;0;2;-1\right\}\)

c: \(\Leftrightarrow n+1\in\left\{1;-1\right\}\)

hay \(n\in\left\{0;-2\right\}\)

Bài 1:

$A=(n-1)(2n-3)-2n(n-3)-4n$

$=2n^2-5n+3-(2n^2-6n)-4n$

$=-3n+3=3(1-n)$ chia hết cho $3$ với mọi số nguyên $n$

Ta có đpcm.

Bài 2:
$B=(n+2)(2n-3)+n(2n-3)+n(n+10)$

$=(2n-3)(n+2+n)+n(n+10)$

$=(2n-3)(2n+2)+n(n+10)=4n^2-2n-6+n^2+10n$

$=5n^2+8n-6=5n(n+3)-7(n+3)+15$

$=(n+3)(5n-7)+15$

Để $B\vdots n+3$ thì $(n+3)(5n-7)+15\vdots n+3$

$\Leftrightarrow 15\vdots n+3$
$\Leftrightarrow n+3\in\left\{\pm 1;\pm 3;\pm 5;\pm 15\right\}$

$\Rightarrow n\in\left\{-2;-4;0;-6;-8; 2;12;-18\right\}$

a) n = 0 hoặc n= 2

n = -3 hoặc n=-1

`4n+3 vdots 2n+1`

`=>4n+2+1 vdots 2n+1`

`=>2(2n+1)+1 vdots 2n+1`

`=>1 vdots 2n+1`

`=>2n+1 in Ư(1)={1,-1}`

`*2n+1=1=>2n=0=>n=0(tm)`

`*2n+1=-1=>2n=-2=>n=-1(tm)`

Vậy `n in {0;-1}` thì `4n+3 vdots 2n+1`

\(4n+3⋮2n+1\Leftrightarrow2\left(2n+1\right)+1⋮2n+1\Leftrightarrow1⋮2n+1\)

\(\Rightarrow2n+1\inƯ\left(1\right)=\left\{\pm1\right\}\)

4n + 3 chia hết cho 2n + 1 ( 1 )

Mà 2( 2n + 1 ) chia hết cho 2n + 1 ⇒ 4n + 2 \(⋮\) 2n + 1 ( 2 )

Từ (1) và (2) suy ra: ( 4n + 3 ) - ( 4n + 2 ) chia hết cho 2n + 1  \(\Rightarrow\)  1 \(⋮\)  2n + 1

⇒   2n + 1 ∈ \(Ư_{\left(1\right)}=\left\{1\right\}\)

2n + 1 =1 

    2n   = 0 

⇒   n   = 0

nếu 4n-5 chia het cho2n-1 thì :

4n -5=2(2n -1) -4 chia hết cho 2n -1

=>4chia hết cho 2n-1

=>2n-1 thuộc 1,2,4

=> n thuộc 1,3/2,5/2