a)xét tam giác AHB và tam giác CAB có:

góc AHB=góc BAC=90 độ

góc B chung

\(\Rightarrow\Delta AHB\infty\Delta CAB\left(g.g\right)\\ \Rightarrow\dfrac{AB}{BC}=\dfrac{BH}{AB}\Rightarrow AB^2=BH\cdot BC\)(chỗ này là câu b luôn nhé)

c)xét tam giác AHC và tam giá BAC có:

góc AHC=góc BAC=90 độ

góc C chung

\(\Rightarrow\Delta AHC\infty\Delta BAC\left(g.g\right)\\ \Rightarrow\dfrac{AC}{BC}=\dfrac{HC}{AC}\Rightarrow AC^2=HC\cdot BC\)

d)từ câu b)(hay câu a) ta có \(\dfrac{AH}{AC}=\dfrac{AB}{BC}\Rightarrow\dfrac{AH^2}{AC^2}=\dfrac{AB^2}{BC^2}\)(1)

từ câu c) ta có: \(\dfrac{AH}{AB}=\dfrac{AC}{BC}\Rightarrow\dfrac{AH^2}{AB^2}=\dfrac{AC^2}{BC^2}\) (2)

từ (1) và (2) \(\Rightarrow\dfrac{AH^2}{AC^2}+\dfrac{AH^2}{AB^2}=\dfrac{AB^2}{BC^2}+\dfrac{AC^2}{BC^2}\\ \Leftrightarrow^{ }AH^2\left(\dfrac{1}{AC^2}+\dfrac{1}{AB^2}\right)=\dfrac{AB^2+AC^2}{BC^2}=\dfrac{BC^2}{BC^2}=1\\ \Leftrightarrow AH^2\left(\dfrac{1}{AC^2}+\dfrac{1}{AB^2}\right)=1\Leftrightarrow\dfrac{1}{AH^2}=\dfrac{1}{AC^2}+\dfrac{1}{AB^2}\)

a) xét tam giác HAC và tam giác ABC có

Góc H = Góc A (=90^o)

Góc C chung

=> tam giác HAC ~tam giác ABC (g.g)

=>\(\dfrac{AH}{AB}=\dfrac{AC}{BC}\)

=>AH.BC=AB.AC(đpcm)

b) Xét tam giác ABC và tam giác HBA có

Góc A=Góc H (=90⁰)

Góc B chung

=>tam giác ABC ~tam giác HBA (g.g)

=>\(\dfrac{AB}{HB}=\dfrac{BC}{AB}\)

=>AB²=BH.BC (1)

c)Tam giác HAC~ tam giác ABC (cmt)

=>\(\dfrac{AC}{HC}=\dfrac{BC}{AC}\)

=>AC²=HC.BC (2)

d) Từ (1) và (2) suy ra

\(\dfrac{1}{AB^2}+\dfrac{1}{AC^2}=\dfrac{1}{BC.BH}+\dfrac{1}{BC.CH}=\dfrac{CH+BH}{BC.BH.CH}=\dfrac{BC}{BC.BH.CH}=\dfrac{1}{BH.CH}\)=>\(\dfrac{1}{AB^2}+\dfrac{1}{AC^2}=\dfrac{1}{BH.CH}\left(3\right)\)

Từ (1)và (3) suy ra

\(\dfrac{1}{AB^2}+\dfrac{1}{AC^2}=\dfrac{1}{AH^2}\)(đpcm)

Bạn tự vẽ hình nhé!

a, Xét Tg ABH và CBA có: góc ABC chung, BHA=BAC (=90)

=> ABH đồng dạng CBA (g.g)  => \(\frac{AB}{BH}=\frac{BC}{AB}\)

=> AB²=BH.BC

b, Sai đề nên mk sửa lại chút nhé >.^

Xét Tg AHB và CHA có:

  AHB=CHA (=90)

   BAH=ACH (=90-ABC)

=> AHB đồng dạng CHA  (g.g)

=>  \(\frac{AH}{BH}=\frac{HC}{AH}\)

=> AH²=BH.HC

c, Ta có: AB.AC=1/2.S_ABC

                AH.BC=1/2.S_ABC

=> AB.AC=BC.AH

d, Tương tự câu a, Tg AHC đồng dạng BAC

=> \(\frac{AC}{BC}=\frac{CH}{AC}\)

=> AC²=CH.BC

Đáng lẽ câu b nên cm AH²=HC.HB chứ ?

Lời giải:
a. Xét tam giác $ABC$ và $HBA$ có:
$\widehat{B}$ chung

$\widehat{BAC}=\widehat{BHA}=90^0$

$\Rightarrow \triangle ABC\sim \triangle HBA$ (g.g)

Ta có:
$AB.AC=AH.BC$ (cùng bằng 2 lần diện tích tam giác $ABC$)

b. 

Xét tam giác $BHA$ và $AHC$ có:

$\widehat{BHA}=\widehat{AHC}=90^0$

$\widehat{HBA}=\widehat{HAC}$ (cùng phụ góc $\widehat{BAH}$)

$\Rightarrow \triangle BHA\sim \triangle AHC$ (g.g)

$\Rightarrow \frac{BH}{HA}=\frac{AH}{HC}$

$\Rightarrow AH^2=BH.CH$.

Hình vẽ:

d) Xét ΔABC có AH là đường cao ứng với cạnh BC(gt)

nên \(S_{ABC}=\dfrac{AH\cdot BC}{2}\)(1)

Ta có: ΔABC vuông tại A(gt)

nên \(S_{ABC}=\dfrac{AB\cdot AC}{2}\)(2)

Từ (1) và (2) suy ra \(AH\cdot BC=AB\cdot AC\)

a) Xét ΔAHB vuông tại H và ΔCAB vuông tại A có 

\(\widehat{B}\) chung

Do đó: ΔAHB\(\sim\)ΔCAB(g-g)

Suy ra: \(\dfrac{AB}{CB}=\dfrac{HB}{AB}\)(Các cặp cạnh tương ứng tỉ lệ)

hay \(AB^2=BC\cdot BH\)

b) Xét ΔAHB vuông tại H và ΔCHA vuông tại H có 

\(\widehat{BAH}=\widehat{ACH}\left(=90^0-\widehat{B}\right)\)

Do đó:ΔAHB\(\sim\)ΔCHA(g-g)

Suy ra: \(\dfrac{AH}{CH}=\dfrac{HB}{HA}\)(Các cặp cạnh tương ứng tỉ lệ)

hay \(AH^2=HB\cdot HC\)