a) Xét \(\Delta MBD\)và \(\Delta MAC\)

có: \(\widehat{MAC}=\widehat{MBD}\)( cùng chắn cung MC)

\(\widehat{BMD}=\widehat{AMC}\)( cung AB=cung AC vì AB=AC)

=>  \(\Delta MBD\)~ \(\Delta MAC\)

b) Từ câu a)_

=> \(\frac{MB}{MA}=\frac{BD}{AC}\)(1)

\(\frac{MC}{MA}=\frac{MD}{MB}\)(2)

Dễ dàng chứng minh đc:

\(\Delta BDM~\Delta ADC\)

=> \(\frac{MD}{MB}=\frac{DC}{AC}\)(3)

Từ (1), (2), (3)

=> \(\frac{MB}{MA}+\frac{MC}{MA}=\frac{BD}{AC}+\frac{CD}{AC}=\frac{BC}{AC}\)\(=\frac{BC}{AB}\)

c) Lấy điểm E thuộc đoạn

cho mihf hỏi tam giác gì nội tiếp đường tròn O vậy

mình nghĩ đề cho bổ sung là cho tam giác ABC đều nội tiếp đường tròn ( O ) vì mình đã từng làm rồi

lời giải :

a) vì MD = MB nên \(\Delta MBD\)cân tại M

\(\widehat{BMD}=\widehat{BCA}=60^o\)( cùng chắn cung AB )

\(\Rightarrow\)\(\Delta MBD\)đều

b) Xét \(\Delta MBC\)và \(\Delta BDA\)có :

MB = BD ; BC = AB ; \(\widehat{MBC}=\widehat{DBA}\)( cùng cộng góc DBC bằng 60 độ )

\(\Rightarrow\Delta MBC=\Delta DBA\left(c.g.c\right)\)suy ra MC = AD

c) Mà MB = MD ( câu a )

nên MC + MB = MD + AD = MA

d) Ta có : MA là dây cung của ( O ; R ) \(\Rightarrow MA\le2R\)

\(\Rightarrow MB+MC+MA=2MA\le4R\)( không đổi )

Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow\)MA là đường kính hay M là điểm chính giữa của cung BC

Nếu được sử dụng định lú Ptoleme thì bài này chứng minh rất đơn giản.

Không được sử dụng Ptoleme thì chúng ta dựng hình:

Dựng đường tròn tâm M bán kính MC cắt AM tại D \(\Rightarrow MC=MD\)

Mà \(\widehat{CMA}=\widehat{CBA}\) (cùng chắn cung AC) \(\Rightarrow\widehat{CMA}=60^0\)

\(\Rightarrow\Delta MCD\) đều \(\Rightarrow\widehat{MCD}=60^0\)

Lại có \(\left\{{}\begin{matrix}\widehat{ACD}+\widehat{DCB}=60^0\\\widehat{BCM}+\widehat{DCB}=60^0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\widehat{ACD}=\widehat{BCM}\)

Đồng thời \(AC=BC\) ; \(CD=CM\Rightarrow\Delta ACD=\Delta BCM\) (c.g.c)

\(\Rightarrow AD=BM\)

\(\Rightarrow AM=AD+DM=BM+CM\) (đpcm)

Ta có: ∆ ABD =  ∆ CBM (cmt)

suy ra: AD = CM

Ta có: DM = BM ( tam giác MBD đều )

mà AM = AD + DM

suy ra: MA = MC + MB

a, Trên AM lấy điểm E sao cho ME = MB

Có : góc BME = góc BCA = 60 độ

=> tam giác EMB đều => EB = MB và góc EMB = 60 độ

Góc EMB = 60 độ => góc EBC + góc CBM = 60 độ

Lại có : góc ABC = 60 độ nên góc ABE + góc EBC = 60 độ

=> góc ABE = góc CBM

=> tam giác AEB = tam giác CMB (c.g.c)

=> AE = CM

=> AM

= AE + EM = CM+BM

b, Theo câu a có tam giác AEB = tam giác CMB

=> góc EAB = góc MCB

=> tam giác MDC đồng dạng tam giác MBA (g.g)

=> MC/MA = MD/MB

=> MD.MA=MB.MC

Có : MD/MB + MD/MC = MD.(1/MB + 1/MC) = MD.(MB+MC)/MB.MC = MD/MA/MB.MC = 1

bạn ơi câu a ko có dữ liệu thì tính sao được còn câu b đợi mk tí mk làm cho

b) vì MD=MB ==> tam giác BDM cân tại M

mà góc BMD=góc ACB=60 độ

do đó tam giác BDM đều ==>DBM=60 độ

ta có ABD+DBC=60 độ

      MBC+DBC=60 độ

==> góc ABD= CBM

DO ĐÓ TAM GIÁC ABD= tam giác CBM(c.g.c)

==> AD=CM ==> AD+DM=BM+MC=AM

==> ĐIỀU CẦN CHỨNG MINH