Cho tam giác $ABC$ cân tại $A$ và nội tiếp đường tròn tâm $O$, đường kính $AI$. Gọi $E$ là trung điểm của $AB$, $K$ là trung điểm của $OI$, $H$ là trung điểm của $EB$.
a/ Chứng minh  $HK\perp EB$
b/ Chứng minh tứ giác $AEKC$ nội tiếp được trong một đường tròn.

a) Ta thấy E, O là trung điểm của AB và AI nên EO là đường trung bình tam giác ABI

$\Rightarrow$ EO song song với BI.

Ta lại có H, K lần lượt là trung điểm của EB và OI

nên HK là đường trung bình của hình thang EOIB.

=> HK song song với BI (1)

Mặt khác do AI là đường kính nên góc ABI = 90 (2)\widehat{ABI}=90^o

Từ (1) và (2) suy ra $HKvuông\; góc\; vớiEB$(đpcm)

b)

Xét tam giác KBE có KH là trung tuyến đồng thời đường cao (CM trước)

nên KBE là tam giác cân tại K.

=> góc BEK = KBE (3)

Do tam giác ABC cân tại A

nên AI là đường trung trực của BC

Mà K thuộc AI nên KB = KC

hay tam giác KBC cân tại K

=> KBC=KCB 

và ACB=ABC 

$\hat{}$.Mặt khác, ta lại có  ACB=  ACK + KCB và ABC = ABK + KBC

=> ABK=ACK(4)

Từ (3) và (4) suy ra $\hat{}\hat{}$.

 AEKC là tứ giác nội tiếp.

Bài 2:

ΔOBC cân tại O

mà OK là trung tuyến

nên OK vuông góc BC

Xét tứ giác CIOK có

góc CIO+góc CKO=180 độ

=>CIOK là tứ giác nội tiếp

Bài 3:

Xét tứ giác EAOM có

góc EAO+góc EMO=180 độ

=>EAOM làtứ giác nội tiếp

Sửa đề: BF và CE cắt nhau tại H

a) Xét (O) có 

ΔBEC nội tiếp đường tròn(B,E,C\(\in\)(O))

BC là đường kính(gt)

Do đó: ΔBEC vuông tại E(Định lí)

\(\Leftrightarrow CE\perp BE\)

\(\Leftrightarrow CE\perp AB\)

\(\Leftrightarrow\widehat{AEC}=90^0\)

hay \(\widehat{AEH}=90^0\)

Xét (O) có 

ΔBFC nội tiếp đường tròn(B,F,C\(\in\)(O))

BC là đường kính(gt)

Do đó: ΔBFC vuông tại F(Định lí)

\(\Leftrightarrow BF\perp CF\)

\(\Leftrightarrow BF\perp AC\)

\(\Leftrightarrow\widehat{AFB}=90^0\)

hay \(\widehat{AFH}=90^0\)

Xét tứ giác AEHF có 

\(\widehat{AEH}\) và \(\widehat{AFH}\) là hai góc đối

\(\widehat{AEH}+\widehat{AFH}=180^0\left(90^0+90^0=180^0\right)\)

Do đó: AEHF là tứ giác nội tiếp(Dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp)

Xét ΔABC có 

BF là đường cao ứng với cạnh AC(cmt)

CE là đường cao ứng với cạnh AB(cmt)

BF cắt CE tại H(gt)

Do đó: H là trực tâm của ΔABC(Định lí ba đường cao của tam giác)

\(\Leftrightarrow AH\perp BC\)

hay \(AD\perp BC\)(đpcm)

a, Sử dụng tính chất phân giác trong và phân giác ngoài tại 1 điểm ta có:

I B K ^ = I C K ^ = 90 0

=> B, C, I, K ∈ đường tròn tâm O đường kính IK

b, Chứng minh  I C A ^ = O C K ^  từ đó chứng minh được  O C A ^ = 90 0

Vậy AC là tiếp tuyến của (O)

c, Áp dụng Pytago vào tam giác vuông HAC  => AH=16cm. Sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông COA => OH=9cm,OC=15cm

a)     CMR: 4 điểm B, I, C, K cùng thuộc (O).

Vì I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC nên IC là phân giác trong của góc C.

Vì K là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC của góc A nên  CK là phân giác ngoài của góc C.

Theo tính chất phân giác trong và phân giác ngoài ta có IC vuông CK nên ∠ICK=90

Chứng minh hoàn toàn tương tự ta có: ∠IBK=90

Xét tứ giác BICK ta có: ∠IBK+∠ICK=90+90=180

  là tứ giác nội tiếp (tứ giác có tổng hai góc đối diện bằng 180)

Do O là trung điểm của IK nên theo tính chất trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền thì OC = OI = OK.

Vậy O là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác IBKC.

b)     CMR: AC là tiếp tuyến của (O).

Ta có : Tam giác IOC cân tại O nên : 

Mặt khác, theo tính chất góc ngoài của tam giác ta có :

∠OIC=∠IAC+∠ACI=1/2∠BAC+1/2∠ACB=1/2∠BAC+1/2∠ABC

⇒∠ICO+∠ICA=1/2∠BAC+1/2∠ABC+1/2∠ACB=12.180=90 ⇒OC⊥CA.

Do đó AC là tiếp tuyến của (O) tại C (đpcm).

c)     Tính tổng diện tích các hình viên phân giới hạn bởi các cung nhỏ CI, IB, BK, KC và các dây cung tương ứng của (O) biết AB = 20, BC = 24.

Gọi diện tích hình cần tính là S, diện tích hình tròn (O) là S’, gọi giao điểm BC và IK là M.

Ta có ngay :

S = S′−S (ICKB) =π.IO²−S (IBK)−S (IKC)

= π.IK²/4 −(BM.IK)/2−(CM.IK)/2

=πIK²/4 − (BC.IK)/2

Ta có :

     S (ABC) = 1/2 (AM.BC) = (AB+BC+CA) /2 .IM

⇔√(AB²−BM² ) .24 = (AB+BC+CA).IM

⇔√[20²−(24/2)² ]. 24= (20.2+24).IM⇔IM=6.     

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác  vuông tại   có đường cao  ta có :

BM²=IM.MK ⇔MK=BM²/IM=12²/6=24

⇒IM=IM+MK=6+24=30.

⇒S= 1/4(π.IK²)−1/2 BC.IK =1/4 π.30² −1/2(24.30 )  =225π−360 ≈346,86  (dvdt)

ai đó làm giúp với