a: Xét ΔBEM vuông tại E và ΔCFM vuông tại F có 

MB=MC

\(\widehat{MBE}=\widehat{MCF}\)

Do đó:ΔBEM=ΔCFM

b: Ta có: AE+EB=AB

AF+FC=AC

mà EB=FC

và AB=AC
nên AE=AF

mà ME=MF

nên AM là đường trung trực của EF

c: Ta có: ΔABC cân tại A

mà AM là đường trung tuyến

nên AM là đường trung trực của BC(1)

Xét ΔABD vuông tại B và ΔACD vuông tại C có
AD chung

AB=AC
Do đó: ΔABD=ΔACD

Suy ra: DB=DC

hay D nằm trên đường trung trực của BC(2)

Từ (1) và (2) suy ra A,M,D thẳng hàng

Theo định lý py ta go ta có :

\(NI^2=MN^2+MI^2\)

\(NI^2=6^2+8^2\)

\(NI^2=100\)

\(\Rightarrow NI=10cm\)

b )

Xét \(\Delta DMI\) và \(DEI\) có :

\(DMI=DEI\left(90\right)\)

\(DI\) cạnh chung

\(I_1=I_2\left(gt\right)\)

\(\Rightarrow\Delta DMI=\Delta DEI\left(ch-gn\right)\)

\(\Rightarrow DM=DE\) ( 2 cạnh t ứng )

a) \(\Delta MNI\) vuông tại M, theo định lí Py-ta-go

Ta có: NI² = MN² + MI²

NI² = 6² + 8²

NI² = 100

\(\Rightarrow NI=\sqrt{100}=10\left(cm\right)\).

b) Xét hai tam giác vuông MID và EID có:

ID: cạnh huyền chung

\(\widehat{I_1}=\widehat{I_2}\left(gt\right)\)

Vậy: \(\Delta MID=\Delta EID\left(ch-gn\right)\)

Suy ra: DM = DE (hai cạnh tương ứng).

c) Ta có: MI = EI (\(\Delta MID=\Delta EID\))

\(\Rightarrow\) \(\Delta MIE\) cân tại I

\(\Rightarrow\) ID là đường phân giác đồng thời là đường trung trực của ME (1)

Ta lại có: hai đường cao MN và AE cắt nhau tại D

\(\Rightarrow\) D là trực tâm của \(\Delta ANI\)

\(\Rightarrow\) ID là đường cao còn lại của \(\Delta ANI\) hay ID \(\perp\) AN (2)

Từ (1) và (2) suy ra: AN // EM (đpcm).

(Hình vẽ chỉ mang tính chất minh họa, không đúng với số liệu đã cho)

a)

Áp dụng định lý Pitago vào tam giác MNI, có:

\(NI^2=MN^2+MI^2\)

\(\Rightarrow NI^2=6^2+8^2=100\)

\(\Rightarrow NI=\sqrt{100}=10\left(cm\right)\)

b)

Xét \(\Delta DMI\) và \(\Delta DEI\), có:

\(\widehat{DMI}=\widehat{DEI}=90^0\)

DI là cạnh chung

\(\widehat{MID}=\widehat{EID}\) (ID là tia phân giác của \(\widehat{MIN}\))

\(\Rightarrow\Delta DMI=\Delta DEI\) (cạnh huyền_góc nhọn)

\(\Rightarrow DM=DE\) (Hai cạnh tương ứng)

\(\Rightarrowđpcm\)

c)

Xét \(\Delta DAM\) và \(\Delta DNE\), có:

\(\widehat{DMA}=\widehat{DEN}=90^0\)

\(DM=DE\) (\(\Delta DMI=\Delta DEI\))

\(\widehat{ADM}=\widehat{EDM}\) (Hai góc đối đỉnh)

\(\Rightarrow\Delta DAM=\Delta DNE\) (cạnh góc vuông_góc nhọn kề)

\(\Rightarrow AM=NE\) (Hai cạnh tương ứng)

Mà \(IM=IE\) (\(\Rightarrow\Delta DMI=\Delta DEI\))

\(\Leftrightarrow AM+IM=NE+IE\)

Hay \(IA=IN\)

\(\Rightarrow\Delta IAN\) cân tại I

\(\Rightarrow\widehat{IAN}=\dfrac{180^0-\widehat{AIN}}{2}\) (1)

Lại có: \(IM=IE\) (\(\Rightarrow\Delta DMI=\Delta DEI\))

\(\Rightarrow\Delta IEM\) cân tại I

\(\Rightarrow\widehat{IME}=\dfrac{180^0-\widehat{AIN}}{2}\) (2)

Từ (1) và (2) \(\Rightarrow\widehat{IAN}=\widehat{IME}\)

\(\Rightarrow\) AN // EM ( Vì có hai góc đồng vị bằng nhau)

\(\Rightarrowđpcm\)

Chúc bạn học tốt!