\(M=\frac{x+y}{xy}.\frac{1}{z}\ge\frac{2\sqrt{xy}}{xy}.\frac{1}{z}=\frac{2}{z\sqrt{xy}}\ge\frac{2}{z\left(\frac{x+y}{2}\right)}=\frac{4}{z\left(x+y\right)}\)

\(=\frac{4}{z\left(1-z\right)}=\frac{4}{\frac{1}{4}-\left(z-\frac{1}{2}\right)^2}\ge16\)

Min M= 16 khi  z=1/2 và  x=y =1/4.

Có \(P=\dfrac{x+z}{xyz}=\dfrac{1}{yz}+\dfrac{1}{xy}=\dfrac{1}{y}\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{z}\right)\ge\dfrac{1}{y}.\dfrac{4}{x+z}\)

\(=\dfrac{4}{y\left(x+z\right)}=\dfrac{4}{y\left(4-y\right)}=\dfrac{4}{-y^2+4y}=\dfrac{4}{-\left(y-2\right)^2+4}\ge1\)

"=" xảy ra khi y = 2 ; x = 1 ; z = 1

Giúp mình câu này với ah.

Ta có x+y+z=4

=>y=4-x-z

Ta có :x,y,z>0

=>\(x^2>0,z^2>0\)

=>\(x^2z>0,z^2x>0\)

Áp dụng bất đẳng thức cô si với hai số dương \(x^2z\) và z ta có

      \(x^2z+z\)>=2\(\sqrt{x^2z.z}\)

<=>\(x^2z+z>=2xz\)

CMTT:\(z^2x+x>=2xz\)

=>\(x^2z+z+z^2x+x>=4xz\)

=>\(x+z>=4xz-x^2z-z^2x\)

=>\(x+z>=xz\left(4-x-z\right)\)

Mà y=4-x-z(cmt)

=>\(x+z>=xyz\)

=>\(\dfrac{x+z}{xyz}>=1\)

hay \(P>=1\)

Dấu "=" xảy ra <=> \(\left\{{}\begin{matrix}x^2z=z\\z^2x=x\\x+y+z=4\end{matrix}\right.\)

                        <=>\(\left\{{}\begin{matrix}x^2=1\\z^2=1\\x+y+z=4\end{matrix}\right.\)  

                        <=>\(\left\{{}\begin{matrix}x=1\\z=1\\1+y+1=4\end{matrix}\right.\)

                        <=>\(\left\{{}\begin{matrix}x=1\\z=1\\y=2\end{matrix}\right.\)

Vậy tại x=1, y=2,z=1 thì P có giá trị nhỏ nhất là 1

M=x+yxy.1z≥2√xyxy.1z=2z√xy≥2z(x+y2)=4z(x+y)M=x+yxy.1z≥2xyxy.1z=2zxy≥2z(x+y2)=4z(x+y)

=4z(1−z)=414−(z−12)2≥16=4z(1−z)=414−(z−12)2≥16

Min M= 16 khi  z=1/2 và  x=y =1/4