cho x, y là các số nguyên dương sao cho A= x4+ y4/15 là số nguyên dương. cmr x, y chia hết cho 3, 5. từ đó tìm giá trị nhỏ nhất của A
+) Vì y và x tỉ lệ thuận với nhau nên:
y=kx
\Rightarrow y_1=k\cdot x_1
hay 6=k\cdot3
\Rightarrow k=2
Vậy y tỉ lệ thuận với x theo hệ số tỉ lệ 2.
cho 2 số thực dương a,b sao cho \(\sqrt{a+1}+\sqrt{b+1}=4\)
tìm Min P = \(a^4+b^4\)
Áp dụng BĐT Bunhiacopski:
\(\left(\sqrt{a+1}+\sqrt{b+1}\right)^2\le\left(1^2+1^2\right)\left(a+1+b+1\right)=2\left(a+b+2\right)\\ \Leftrightarrow a+b+2\ge\dfrac{16}{2}=8\\ \Leftrightarrow a+b\ge6\)
Áp dụng BĐT: \(a^2+b^2\ge\dfrac{\left(a+b\right)^2}{2}\)
\(\Leftrightarrow P=a^4+b^4\ge\dfrac{\left(a^2+b^2\right)^2}{2}\ge\dfrac{\left[\dfrac{\left(a+b\right)^2}{2}\right]^2}{2}=\dfrac{\left(a+b\right)^4}{8}\ge\dfrac{6^4}{8}=162\)
Do đó \(P_{min}=162\Leftrightarrow a=b=3\)
Cho a,b là 2 số nguyên dương thỏa mãn tổng,hiệu,tích,thương của chúng là 4 số nguyên dương khác nhau.Tìm GTNN của a + b
1.Cho x,y là các số nguyên dương sao cho A=\(x^4+y^4\)cũng là số nguyên dương. CMR; x,y đều chia hết cho 3 và 5 . Từ đó tìm giá trị nhỏ nhất của A
Bài 10. Cho biểu thức : a ^ 2 = b ^ 5 - b ^ 4.c . Trong 3 số a, b, c có một số dương, một số âm và một số bằng 0. Hãy chỉ rõ số dương, số âm và số 0
TH1: a là dương; b là số âm; c là 0
Ta có: \(a^2>0\)
\(\Rightarrow b^5-b^4c=b^5-b^4.0=b^5-0=b^5>0\)
\(\Rightarrow a^2=b^5\) (vô lí)
TH2: a là 1 số âm, b là số dương, c là số 0
Ta có: \(a^2>0\)
\(\Rightarrow b^5-b^4c=b^5>0\)
\(\Rightarrow a^2=b^5\) (thỏa mãn)
Vậy trong 3 số a là số âm, b là số dương, c là số 0
TH1: a là dương; b là số âm; c là 0
Ta có:
(vô lí)
TH2: a là 1 số âm, b là số dương, c là số 0
Ta có:
(thỏa mãn)
Vậy trong 3 số a là số âm, b là số dương, c là số 0
Cho x;y là các số nguyên dương sao cho : \(A=\frac{x^4+y^4}{15}\)cũng là số nguyên dương . Chứng minh x;y đều chia hết cho 3 và 5. từ đó tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức A
giả sử x và y đều không chia hết cho 3
\(\hept{\begin{cases}x^4\equiv1\left(mod3\right)\\y^4\equiv1\left(mod3\right)\end{cases}\Rightarrow x^4+y^4\equiv2\left(mod3\right)\Rightarrow\frac{x^4+y^4}{15}\notin N}\)
=> x và y đều phải chi hết cho 3
tương tự sử dụng với mod 5, ( lũy thừa bậc 4 của 1 số luôn đồng dư với 0 hoạc 1 theo mod5 )
=> x và y đề phải chia hết cho 5
=> x,y đều chia hết cho 15
mà số nguyên dương nhỏ nhất chia hết cho 15 là 15 => x=y=15
thay vào và tìm min nhé
Câu 1: Chứng minh \(\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+\frac{1}{3.4}+...+\frac{1}{(n-1)n}\) với ∀n∈\(N^*\)
Câu 2: Cho a,b,c là các số thực dương. Chứng minh rằng: \(\frac{a^4+b^4+c^4}{a+b+c}\geq abc\).
Câu 3: Cho các số thực dương a,b,c thỏa mãn \(ab+bc+ca=3\). Chứng minh rằng: \(\sqrt{a^6+b^6+1}+\sqrt{b^6+c^6+1}+\sqrt{c^6+a^6+1}\geq 3\sqrt{3}\)
Câu 4: Cho các số thực không âm a,b,c thỏa mãn \(a+b+c=3\).Chứng minh rằng: \(a^3+b^3+c^3\geq 3\)
Câu 5: Với \(a,b,c>0\) thỏa mãn điều kiện \(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}=1\). Chứng minh rằng: \(\sqrt\frac{b}{a}+\sqrt\frac{c}{b}+\sqrt\frac{a}{c}\leq 1\)
1. Đề thiếu
2. BĐT cần chứng minh tương đương:
\(a^4+b^4+c^4\ge abc\left(a+b+c\right)\)
Ta có:
\(a^4+b^4+c^4\ge\dfrac{1}{3}\left(a^2+b^2+c^2\right)^2\ge\dfrac{1}{3}\left(ab+bc+ca\right)^2\ge\dfrac{1}{3}.3abc\left(a+b+c\right)\) (đpcm)
3.
Ta có:
\(\left(a^6+b^6+1\right)\left(1+1+1\right)\ge\left(a^3+b^3+1\right)^2\)
\(\Rightarrow VT\ge\dfrac{1}{\sqrt{3}}\left(a^3+b^3+1+b^3+c^3+1+c^3+a^3+1\right)\)
\(VT\ge\sqrt{3}+\dfrac{2}{\sqrt{3}}\left(a^3+b^3+c^3\right)\)
Lại có:
\(a^3+b^3+1\ge3ab\) ; \(b^3+c^3+1\ge3bc\) ; \(c^3+a^3+1\ge3ca\)
\(\Rightarrow2\left(a^3+b^3+c^3\right)+3\ge3\left(ab+bc+ca\right)=9\)
\(\Rightarrow a^3+b^3+c^3\ge3\)
\(\Rightarrow VT\ge\sqrt{3}+\dfrac{6}{\sqrt{3}}=3\sqrt{3}\)
4.
Ta có:
\(a^3+1+1\ge3a\) ; \(b^3+1+1\ge3b\) ; \(c^3+1+1\ge3c\)
\(\Rightarrow a^3+b^3+c^3+6\ge3\left(a+b+c\right)=9\)
\(\Rightarrow a^3+b^3+c^3\ge3\)
5.
Ta có:
\(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}\ge2\sqrt{\dfrac{a}{c}}\) ; \(\dfrac{a}{b}+\dfrac{c}{a}\ge2\sqrt{\dfrac{c}{b}}\) ; \(\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a}\ge2\sqrt{\dfrac{b}{a}}\)
\(\Rightarrow\sqrt{\dfrac{b}{a}}+\sqrt{\dfrac{c}{b}}+\sqrt{\dfrac{a}{c}}\le\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a}=1\)
Câu 1:
\(VT=1-\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}+...+\dfrac{1}{n-1}-\dfrac{1}{n}\)
\(VT=1-\dfrac{1}{n}< 1\) (đpcm)
cho số hữu tỉ X = 3a - 2 / 4 với giá trị nào của a thì :
a ) x là số dương ?
b) x là số âm ?
x là số ko âm cũng ko dương ?
ai giúp mik , mik tick
Lời giải:
a. $x$ là số dương khi mà $x=\frac{3a-2}{4}>0$
$\Rightarrow 3a-2>0$
$\Rightarrow a> \frac{2}{3}$
b.
$x$ là số âmkhi mà $x=\frac{3a-2}{4}<0$
$\Rightarrow 3a-2<0$
$\Rightarrow a< \frac{2}{3}$
c. $x$ không âm không dương
Tức là $x=\frac{3a-2}{4}=0$
Hay $a=\frac{2}{3}$
a) Để \(X=\dfrac{3a-2}{4}\) là số dương
\(\Rightarrow3a-2\) lớn hơn 0 ( 4 là số dương)
\(\Rightarrow a\) lớn hơn \(\dfrac{2}{3}\)
b) Để \(X=\dfrac{3a-2}{4}\) là số âm
\(\Rightarrow3a-2\) nhỏ hơn 0 (vì 4 là số dương)
\(\Rightarrow a\) nhỏ hơn \(\dfrac{2}{3}\)
c) Để X không dương không âm
\(3a-2=0\)
\(\Rightarrow a=\dfrac{2}{3}\)
cho 3/a = 4/4 và a^2 + a^2 = 100 . Tìm 2 số dương a và b
Đề thiếu 'b' bạn ơi
Đề kiểu gì vậy bạn :)
có \(\frac{3}{a}=\frac{4}{4}=1\Rightarrow a=3\)
Thay a=3 vào bt a2+a2=100 ta được :
32+32=100
=9+9=100
hay đề sai
Một số nguyên dương n được gọi là "số đẹp" nếu tồn tại các số nguyên dương a, b, c, d sao cho \(n=\frac{2015a^4+b^4}{2015c^4+d^4}\).
a) Chứng minh rằng có vô số "số đẹp".
b) Số 2014 có là "số đẹp" hay không?
