Tìm số hạng tổng quát của các cấp số cộng sau:
a) Cấp số cộng \(\left( {{a_n}} \right)\) có \({a_1} = 5\) và \(d = - 5\);
b) Cấp số cộng \(\left( {{b_n}} \right)\) có \({b_1} = 2\) và \({b_{10}} = 20\).
Viết năm số hạng đầu của mỗi dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) sau và xét xem nó có phải là cấp số cộng không. Nếu dãy số đó là cấp số cộng, hãy tìm công sai d và viết số hạng tổng quát của nó dưới dạng \({u_n} = {u_1} + \left( {n - 1} \right)d\)
a) \({u_n} = 3 + 5n;\)
b) \({u_n} = 6n - 4\);
c) \({u_1} = 2,\;{u_n} = {u_{n - 1}} + n\);
d) \({u_1} = 2,\;{u_n} = {u_{n - 1}} + 3\).
a) \({u_1} = 8;\;\;\;\;{u_2} = 13;\;\;\;\;\;{u_3} = 18;\;\;\;\;\;{u_4} = 23;\;\;\;\;\;{u_5} = 28\).
Ta có: \({u_n} - {u_{n - 1}} = 3 + 5n - \left[ {3 + 5\left( {n - 1} \right)} \right] = 5,\;\forall n \ge 2\).
Vậy dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) là cấp số cộng với \({u_1} = 8\) và công sai \(d = 5\).
Số hạng tổng quát: \({u_n} = 8 + 5\left( {n - 1} \right)\).
b) \({u_1} = 2;\;\;\;\;{u_2} = 8;\;\;\;\;{u_3} = 14;\;\;\;\;\;{u_4} = 20;\;\;\;\;\;{u_5} = 26\).
Ta có: \({u_n} - {u_{n - 1}} = 6n - 4 - \left[ {6\left( {n - 1} \right) - 4} \right] = 6,\;\forall n \ge 2\).
Vậy dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) là cấp số cộng với \({u_1} = 2\) và công sai \(d = 6\).
Số hạng tổng quát: \({u_n} = 2 + 6\left( {n - 1} \right)\).
c) \({u_1} = 2;\;\;\;\;{u_2} = 4;\;\;\;\;\;{u_3} = 7;\;\;\;\;\;\;{u_4} = 11;\;\;\;\;\;\;\;{u_5} = 16\)
Ta có: \({u_n} - {u_{n - 1}} = n,\;\) n biến động.
Suy ra đây không phải là cấp số cộng.
d) \({u_1} = 2;\;\;\;\;{u_2} = 5;\;\;\;\;\;\;{u_3} = 8;\;\;\;\;\;\;{u_4} = 11;\;\;\;\;\;\;\;{u_5} = 14\)
Ta có: \({u_n} - {u_{n - 1}} = 3\).
Vậy dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) là cấp số cộng với \({u_1} = 2\) và công sai \(d = 3\).
Số hạng tổng quát: \({u_n} = 2 + 3\left( {n - 1} \right),\;\forall n \ge 2\).
1) cho dãy số có các số hạng đầu là 8; 15;22; 29; 36;.. số hạng tổng quát của dãy số là
2) cho cấp số cộng \(\left(u_n\right)\) với \(u_1=2;d=9\). Khi đó số 2018 là số hạng thứ mấy của dãy
3) cho cấp số nhân \(\left(u_n\right)\) có \(u_1=5;q=2\). Số hạng thứ 6 của cấp số nhân là
4) cho cấp số nhân \(\left(u_n\right)\) có \(u_1=2;u_2=6\).Công bội của cấp số nhân bằng
Trong các dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) với số hạng tổng quát sau, dãy số nào là cấp số cộng? Nếu là cấp số cộng, hãy tìm số hạng đầu \({u_1}\) và công sai d.
a) \({u_n} = 3 - 2n\)
b) \({u_n} = \frac{{3n + 7}}{5}\)
c) \({u_n} = {3^n}\)
a) Dãy số trên là cấp số cộng
Ta có:
\(\begin{array}{l}{u_n} = {u_1} + \left( {n - 1} \right)d \Rightarrow {u_1} + \left( {n - 1} \right)d = 3 - 2n\\ \Leftrightarrow {u_1} + nd - d = 3 - 2n\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} - d = 3\\nd = - 2n\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 1\\d = - 2\end{array} \right.\end{array}\)
b) Dãy số trên là cấp số cộng
Ta có:
\(\begin{array}{l}{u_n} = {u_1} + \left( {n - 1} \right)d \Rightarrow {u_1} + \left( {n - 1} \right)d = \frac{{3n + 7}}{5}\\ \Leftrightarrow {u_1} + nd - d = \frac{{3n}}{5} + \frac{7}{5}\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} - d = \frac{7}{5}\\nd = \frac{3}{5}n\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 2\\d = \frac{3}{5}\end{array} \right.\end{array}\)
c) Dãy số đã cho không là cấp số cộng
Ta có: \( u_{n+1} = 3^{n+1} = 3.3^n \)
Xét hiệu \( u_{n+1} – u_n = 3.3^n – 3^n = 2.3^n \) với n ∈ ℕ*
Cho cấp số cộng (un) có các số hạng đầu lần lượt là 5; 9; 13; 17;..... Tìm số hạng tổng quát un của cấp số cộng.
A. u n = 5 n + 1.
B. u n = 5 n − 1.
C. u n = 4 n + 1.
D. u n = 4 n − 1.
Các số 5; 9; 13; 17..... theo thứ tự đó lập thành cấp số cộng ( u n ) nên
u 1 = 5 d = u 2 − u 1 = 4 → C T T Q u n = u 1 + n − 1 d = 5 + 4 n − 1 = 4 n + 1
Chọn đáp án C.
Cho cấp số cộng u n có các số hạng đầu lần lượt là 5; 9; 13; 17; .... Tìm số hạng tổng quát u n của cấp số cộng?
A. u n = 4 n + 1
B. u n = 5 n - 1
C. u n = 5 n + 1
D. u n = 4 n - 1
Cho cấp số cộng u n có các số hạng đầu lần lượt là 5; 9; 13; 17; .... Tìm số hạng tổng quát u n của cấp số cộng?
A. u n = 4 n + 1
B. u n = 5 n - 1
C. u n = 5 n + 1
D. u n = 4 n - 1
Đáp án là A
Dãy số đã cho là cấp số cộng có u 1 = 5 ; u 2 = 9
⇒ d = u 2 - u 1 = 4
Do đó u n = u 1 + n - 1 . d = 4 n + 1
Vậy u n = 4 n + 1
Tìm số hạng tổng quát của cấp số cộng \(\left( {{c_n}} \right)\) có \({c_4} = 80\) và \({c_6} = 40\).
Giả sử cấp số cộng \(\left(c_n\right)\) có số hạng đầu \(c_1\) và công sai d.
Ta có:
\(c_4=c_1+\left(4-1\right)d=c_1+3d\Leftrightarrow c_1+3d=80\left(1\right)\\ c_6=c_1+\left(6-1\right)d=c_1+5d\Leftrightarrow c_1+5d=40\left(2\right)\)
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:
\(\left\{{}\begin{matrix}c_1+3d=80\\c_1+5d=40\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}c_1=140\\d=-20\end{matrix}\right.\)
Vậy số hạng tổng quát của cấp số cộng \(\left(c_n\right)\) là:
\(c_n=c_1+\left(n-1\right)d=140+\left(n-1\right)\left(-20\right)=160-20\)
Cho cấp số cộng u n có các số hạng đầu lần lượt là 5; 9; 13; 17; … Tìm công thức số hạng tổng quát u n của cấp số cộng?
A. u n = 5 n - 1
B. u n = 5 n + 1
C. u n = 4 n - 1
D. u n = 4 n + 1
Cho cấp số cộng (un) có các số hạng đầu lần lượt là 5; 9; 13; 17; … Tìm công thức số hạng tổng quát un của cấp số cộng?
A. u n = 5 n - 1
B. u n = 5 n + 1
C. u n = 4 n - 1
D. u n = 4 n + 1
Chọn D
Ta có: u1 = 5 nên thay n = 1 vào 4 đáp án thấy chỉ có đáp án D đúng