Cho hình bình hành ABCD. Qua A kẻ một đường thẳng bất kì cắt BD, BC, CD lần lượt ở E, K, G. Chứng minh:
a) AE^2 = EK.EG;
b) 1/AE=1/AK+1/AG
c) Khi đường thẳng A thay đổi thì tích BK.DG có giá trị không đổi.
Cho hình bình hành \(ABCD\). Đường thẳng \(a\) đi qua \(A\) cắt \(BD,BC,DC\) lần lượt tại \(E,K,G\) (Hình 10). Chứng minh rằng:
a) \(A{E^2} = EK.EG\);
b) \(\frac{1}{{AE}} = \frac{1}{{AK}} + \frac{1}{{AG}}\).
a) Vì \(ABCD\) là hình bình hành nên \(AB//CD;AD//BC\)
\( \Rightarrow AB//DG;AB//CG;BK//AD;KC//AD\)
Xét tam giác \(DEG\) có \(AB//DG\), theo hệ quả của định lí Thales ta có:
\(\frac{{AE}}{{EG}} = \frac{{EB}}{{ED}}\) (1)
Xét tam giác \(ADE\) có \(BK//AD\), theo hệ quả của định lí Thales ta có:
\(\frac{{EK}}{{AE}} = \frac{{EB}}{{ED}}\) (2)
Từ (1) và (2) suy ra, \(\frac{{AE}}{{EG}} = \frac{{EK}}{{AE}} \Rightarrow A{E^2} = EG.EK\) (điều phải chứng minh).
b) Xét tam giác \(AED\) có:
\(AD//BK \Rightarrow \frac{{AE}}{{AK}} = \frac{{DE}}{{DB}}\)(3)
Xét tam giác \(AEB\) có
\(AB//BK \Rightarrow \frac{{AE}}{{AG}} = \frac{{BE}}{{BD}}\) (4)
Từ (3) và (4) ta được:
\(\frac{{AE}}{{AK}} + \frac{{AE}}{{AG}} = \frac{{DE}}{{BD}} + \frac{{BE}}{{BD}} = \frac{{BD}}{{BD}} = 1\)
Ta có: \(\frac{{AE}}{{AK}} + \frac{{AE}}{{AG}} = 1 \Rightarrow \frac{1}{{AE}} = \frac{1}{{AK}} + \frac{1}{{AG}}\) (chia cả hai vế cho \(AE\)) (điều phải chứng minh).
Cho hình bình hành ABCD, đường thẳng a đi qua A lần lượt cắt BD, BC, DC theo thứ tự tại E, K, G . Chứng minh rằng
a) AE2 = EK.EG
b) \(\dfrac{AE}{AK}+\dfrac{AE}{AG}=1\)
Cho hình bình hành ABCD. Đường thẳng qua A cắt tia CD, tia CB và cắt đường thẳng BD lần lượt tại G,K và E (G,K và E nằm ngoài các đoạn thẳng CD, CB và BD). Chứng minh EA^2= EK.EG
Một đường thẳng đi qua đỉnh A của hình bình hành ABCD cắt BD, BC, DC theo thứ tự ở E, K, G. Chứng minh rằng:
a, AE2 = EK.EG b, \(\dfrac{1}{AE}=\dfrac{1}{AK}+\dfrac{1}{AG}\)
a) Ta thấy \(\dfrac{EA}{EK}=\dfrac{ED}{EB}=\dfrac{EG}{EA}\) nên \(AE^2=EK.EG\) (đpcm)
b) Ta có \(\dfrac{AE}{AK}+\dfrac{AE}{AG}=\dfrac{DE}{DB}+\dfrac{BE}{BD}=\dfrac{DE+BE}{BD}=1\) nên suy ra \(\dfrac{1}{AE}=\dfrac{1}{AK}+\dfrac{1}{AG}\) (đpcm)
Cho hình bình hành ABCD. Qua A kẻ đường thẳng bất lì cắt BD,BC,CD lần lượt tại E,K,G.CMR:
a) \(AE^2=EK.EG\)
b) \(\frac{1}{AE}=\frac{1}{AK}+\frac{1}{AG}\)
c) Khi đường thẳng qua A thay đổi thì tích BC.DG k đổi.
cho hình bình hành ABCD . Qua A kẻ đường thẳng cắt BD,BC,CD tại E,K,G.
CMR EK.EG không đổi
hình vẽ hơi xấu mong bạn thông cảm
do BK// AD nên \(\frac{EK}{AE}\)= \(\frac{BE}{ED}\) (1)
do AB// DG nên \(\frac{AE}{EG}\)= \(\frac{BE}{ED}\) (2)
từ (1) và (2) => \(\frac{EK}{AE}\)= \(\frac{AE}{EG}\)
=> \(EK.EG=AE^2\)
nên \(EK.EG\) là không đổi
Cho hình bình hành ABCD. Gọi E là một điểm bất kì trên cạnh AB. Qua E kẻ đường thẳng song song với AC cắt BC ở F và kẻ đường thẳng song song với BD cắt AD ở H. Đường thẳng kẻ quá F song song với BD cắt CD ở G. Chứng minh AH.CD = AD.CG.
Áp dụng định lý Thalès, ta có:
HE // BD \(\Rightarrow\frac{AH}{AD}=\frac{AE}{AB}\)(1)
EF // AC \(\Rightarrow\frac{AE}{AB}=\frac{FC}{BC}\)(2)
FG // BD \(\Rightarrow\frac{FC}{BC}=\frac{GC}{DC}\)(3)
Từ (1),(2),(3) suy ra \(\frac{AH}{AD}=\frac{GC}{DC}\Rightarrow AH.CD=AD.CG\left(đpcm\right)\)
Cho hình bình hành ABCD. Qua A kẻ một đường thẳng bất kì cắt BD, BC, CD lần lượt ở E, K, G. Chứng minh:
a)EA.ED=ED.EF
b)Tam giác DGE đồng dạng với tam giác BEA
c) AE^2 = EK.EG;
d) Khi đường thẳng A thay đổi thì tích BK.DG có giá trị không đổi.