a + b + c = 0 

=> a+b=-c

a³   + b³  +c³  = a^3 + b^3 +3a^2b +3ab^2 -3a^2b-3ab^2 +c^3

                      = (a+b)^3 -3ab(a+b)+c^3

                       = -c^3 +3abc+c^3

                        = 3abc

=> a^3+b^3+c^3 = 3abc

Kẻ CH⊥Ox

Ta có OB=\(\left|-2\right|=2\)

OA=\(\left|2\right|=2\)

\(OH=\left|3\right|=3\)

CH=\(\left|1\right|=1\)

Xét △OAB vuông tại O có

OA=OB=2

Suy ra △OAB vuông cân tại O

\(\Rightarrow\widehat{OAB}=45^0\)(1)

Ta có OH=AH+OA\(\Leftrightarrow AH=AH-OA=3-2=1\)

Xét △CHA vuông tại H có

AH=CH=1

Suy ra △CHA vuông cân tại H

\(\Rightarrow\)\(\widehat{CAH}=45^0\)(2)

Từ (1),(2)\(\Rightarrow\widehat{OAB}=\widehat{CAH}=45^0\)(3)

Mà O,A,H thẳng hàng(4)

Từ (3),(4)\(\Rightarrow\widehat{OAB}\) và \(\widehat{CAH}\) là hai góc đối đỉnh

\(\Rightarrow\)A,B,C thẳng hàng

\(\overrightarrow{AB}=\left(-2;-2\right)\)

\(\overrightarrow{AC}=\left(1;1\right)\)

Vì -2/1=-2/1

nên A,B,C thẳng hàng

Từ \(a^3+b^3+c^3=3abc\Rightarrow a^3+b^3+c^3-3abc=0\)

\(\Rightarrow\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\right)=0\)

ĐÚng với a+b+c=0

1

VD:123+456+789=1368⋮2

(A)

a

Áp dụng bất đẳng thức  a^2+b^2+c^2 > ab+bc+ac ta có : 

a^8 + b^8 + c^8 > (ab)^4 + (bc)^4 + (ca)^4 > (ab)^2.(bc)^2 + (bc)^2.(ca)^2 + (ca)^2.

(ab)^2 
> ab.bc.bc.ca + bc.ca.ca.ab + ca.ab.ab.bc = a^2.b^2.c^2(bc + ab + ac) 

\(\Rightarrow\)  (a^8 + b^8 + c^8)/(a^3.b^3.c^3) > a^2.b^2.c^2(ab + bc + ca)/(a^3.b^3.c^3) = (ab + bc

+ ca)/abc = 1/a + 1/b + 1/c 

\(\Rightarrow\) a^8 + b^8 + c^8 > (abc)^3 + (1/a + 1/b + 1c) (đpcm)

Ta có : \(a^8+b^8+c^8\ge\left(abc\right)^3\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\) (1)

\(\Leftrightarrow a^8+b^8+c^8\ge a^2b^2c^2\left(ab+bc+ac\right)\)

Áp dụng bất đẳng thức phụ : \(x^2+y^2+z^2\ge xy+yz+zx\) (có thể chứng minh bằng biến đổi tương đương)

Được : \(a^8+b^8+c^8=\left(a^4\right)^2+\left(b^4\right)^2+\left(c^4\right)^2\ge a^4b^4+b^4c^4+c^4a^4\)(2)

Lại có : \(a^4b^4+b^4c^4+c^4a^4=\left(a^2b^2\right)^2+\left(b^2c^2\right)^2+\left(c^2a^2\right)^2\ge a^2b^4c^2+b^2c^4a^2+c^2a^4b^2\)

\(\Leftrightarrow a^4b^4+b^4c^4+c^4a^4\ge a^2b^2c^2\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge a^2b^2c^2\left(ab+bc+ac\right)\) (3)

Từ (2) và (3) ta có : \(a^8+b^8+c^8\ge a^2b^2c^2\left(ab+bc+ac\right)\)

Vậy (1) được chứng minh.